Astronomia

Hulse Taylor Binary Pulsar - Como é calculado o “Periastron Time shift cumulativo”?

Hulse Taylor Binary Pulsar - Como é calculado o “Periastron Time shift cumulativo”?

Na sequência de uma pergunta anterior sobre o interessante Pulsar Binário Hulse Taylor.

BACKGROUD

Weisberg & Taylor, 2004 apresentam um gráfico que mostra a mudança no "Periastron Time Shift cumulativo" em um período de 30 anos. Aqui está uma versão posterior desse gráfico

O gráfico indica excelente concordância entre os pontos de dados observados e a curva teórica prevista pela Teoria Geral da Relatividade (GTR).

Os autores determinaram a mudança teórica no período da órbita $ P $ ao longo do tempo (devido à perda de energia orbital da emissão de ondas gravitacionais) de uma fórmula (Peters & Matthews (1963)) da forma: - $$ dP / dt = K / P ^ {(5/3)} $$ onde K é uma função (efetivamente constante) das massas das duas estrelas e a excentricidade da órbita. Para o binário Hulse-Taylor, o período $ P $ é de aproximadamente 7,75 horas e o valor de K é de aproximadamente $(-6 * 10^{-5})$, dando um valor aproximado de $$ dP / dt = 2,34 × 10 ^ {- 12} s / s. $$

Se $ dP / dt $ é constante, então, obviamente, podemos determinar o período $ P $ em um momento futuro, aplicando a fórmula $$ P_t = P_0 + t , (dP / dt). $$ Como uma estimativa inicial aproximada de um ano, a mudança aproximada no período é: 365,25 x 24 x 3600 x -2,34 x 10 ^ {- 12} = 0,074 ms. (O artigo da Wikipedia indica 0,076 ms.)

Mas $ dP / dT $ não é constante porque depende do valor de $ P $ que obviamente muda. Portanto, esperaríamos que o período diminuísse com o tempo e que a taxa de declínio aumentasse com o tempo. No entanto, a mudança em P é atualmente tão pequena que ao longo do período de 30 anos a mudança em dP / dt (que é uma função de $ P $) também é extremamente pequeno. (É importante notar que o gráfico mostrado acima não trama $ dP / dt $ contra o tempo).

Zibadawa Timmy (obrigado) forneceu a fórmula $ P = (8/3 int K dt) ^ {3/8} $ dando:-

$$ P_t = left ( frac {8} {3} (Kt + C) right) ^ {3/8} qquad mathrm {com} qquad C = frac {3} {8} P_o ^ {8/3} $$

por isso

$$ P_t = left ( frac {8} {3} Kt + P_o ^ {8/3}) right) ^ {3/8} = left ( frac {-1,6 , t} {10 ^ 4 } + P_o ^ {8/3} right) ^ {3/8} = left ( frac {-1.6 , t} {10 ^ 4} + 27900 ^ {8/3} right) ^ {3 / 8} $$ por 1 ano, t = 31.557.600 s., então -1,6 t / 10 ^ 4 = -5.049,12 = c. 5e3

por 10 anos t = 310.557.600 s., então -1,6 t / 10 ^ 4 = -50.491,2 = c. 5e4

enquanto 27900 ^ {8/3} = 716.051.966.959,181 = c. 7e11.

Então $$ P_ {1 ano} = (-5049,12 + 716.051.966.959,181) ^ {3/8} = 27.899.999 926 s, qquad deltaP_ {1 ano} = -0,0000738 s. $$ $$ P_ {10 anos} = (-50491,2 + 716.051.966.959,181) ^ {3/8} = 27.899.999 262 s, qquad deltaP_ {10 anos} = -0.000738 s. $$ Esses $ deltaP $ valores indicam que o valor de $ dP / dt $ é efetivamente constante ($ = - 0,000 073 8 s / s) ao longo de 10 anos.


PERGUNTA 1 - O que está plotado no gráfico? ($ equiv $ O que é a mudança de tempo do periélio cumulativo?) (RESPONDIDO).

Inicialmente, fiquei confuso sobre o que o gráfico de Weisberg & Taylor estava realmente traçando. O artigo de 2004 tem "Os decaimentos observados e teóricos são comparados graficamente na Figura 1". O artigo da Wikipedia rotula o eixo y como "Mudança do período cumulativo", mas a legenda diz "mudança observada na época do periastro com data".

Um artigo anterior da Scientific American de 1981 indica que o eixo vertical do gráfico indica a diferença (pontos de dados redondos) entre (A) a época calculada de um evento de periastro em um sistema "estável" hipotético cujo período orbital permanece constante e (B) o época observada do evento periastro real correspondente no sistema de período "decadente". Também é mostrada a curva contínua mostrando a diferença entre (A) épocas de periastro de sistema estável e (C) previsões teóricas de épocas de periastro decaídas. O periastro das órbitas reais e hipotéticas são sincronizados em $ t = 0 $ (no final de 1974).


QUESITO 2 - Como são calculados os valores teóricos do CPTS? (RESPONDIDAS).

Vários métodos (semelhantes) já foram identificados.

Método 1 O (s) método (s) usado (s) por Weisberg & Taylor para calcular os valores teóricos de CPTS não foram identificados. Os métodos a seguir parecem candidatos razoáveis, com base na concordância com seus resultados.

Método 2 (ver a resposta de Stan Liou) Stan Liou forneceu uma fórmula $ Delta t = 0,5 ( ponto P / P_0) t ^ 2 $ que produz valores que se aproximam do gráfico de Weisberg & Taylor.

Método 3 (veja minha resposta Método 3) Eu deduzi uma fórmula idêntica à de Stan Liou, mas derivada usando fase em vez de anomalia média. Outra fórmula é derivada do mesmo tronco expressando $ Delta t $ em termos de $ ponto P, P e N $ $ Delta t = -0,5 P_o dot P N ^ 2 $.

Método 4 (ver minha resposta Método 4) Eu deduzi uma fórmula derivada de uma série binomial aproximada de maneira grosseira que dá resultados semelhantes $ Delta t_ {N} = P_0 { ponto P} frac {N ^ 2 + N} {2} $.

Método 5 (não mostrado) Uma abordagem de expansão de série bem aproximada foi avaliada. Para o sistema binário fornecido, ele produz uma fórmula que é efetivamente indistinguível da dos outros métodos para o intervalo de tempo fornecido.


Escreva a anomalia média como uma série de Taylor ($ n equiv 2 pi / P $): $$ begin {eqnarray *} M (t) equiv int_0 ^ tn , mathrm {d} t & = & M_0 + dot {M} _0t + frac {1} {2} ddot {M} _0t ^ 2 + mathcal {O} (t ^ 3) & = & n_0t + frac {1} {2} dot {n} _0t ^ 2 + mathcal {O} (t ^ 3) & = & frac {2 pi} {P_0} t - pi frac { dot {P} _0} {P_0 ^ 2} t ^ 2 + mathcal {O} (t ^ 3) text {.} End {eqnarray *} $$

O tempo de periastro (época) acontece quando $ M (t) = 2 pi N $, onde $ N $ conta o número de órbitas, enquanto $ NP_0 $ seria ser o tempo do periastro se o período orbital permaneceu constante. Portanto, tratando $ N $ como contínuo, a diferença cumulativa é apenas $$ t - frac {M (t)} {2 pi} P_0 approx frac {1} {2} frac { dot {P} _0} {P_0} t ^ 2 text {.} $$ Se quisermos mais precisão, podemos calcular o próximo termo na série de Taylor, $$ frac {1} {6} ddot {n} _0t ^ 3 = frac { pi} {3P_0 ^ 2} left [ frac {2 dot {P} _0 ^ 2} {P_0} - ddot {P} _0 right] t ^ 3 text {,} $ $ e se $ dot {P} = KP ^ {- 5/3} $ para $ dot {K} approx 0 $, podemos eliminar o termo $ ddot {P} _0 $ para dar uma mudança cumulativa de $$ t - frac {M (t)} {2 pi} P_0 approx frac {1} {2} frac { dot {P} _0} {P_0} t ^ 2 - frac {11} {18} left ( frac { dot {P} _0} {P_0} right) ^ 2t ^ 3 text {.} $$ De acordo com o artigo de Weisberg & Taylor, $ | dot {P} _0 / P_0 | sim 10 ^ {- 16} , mathrm {s} ^ {- 1} $, então o termo cúbico é insignificante na escala de tempo de trinta anos, e podemos ignorar com segurança qualquer coisa além do termo quadrático.

Só por diversão, podemos resolver $ dot {P} = KP ^ {- 5/3} $ para $ K $ constante, o que produz uma mudança de tempo periastro cumulativa de $$ frac {3} {5x} left [ 1+ frac {5} {3} xt- left (1- frac {8} {3} xt right) ^ {5/8} right] text {.} $$ $ K $ não é realmente constante, sendo uma função da excentricidade $ e $, embora a taxa de variação de $ e $ seja minúscula, da ordem de $ 10 ^ {- 11} , mathrm {yr} ^ {- 1} $, e podemos ignorá-lo na balança de que estamos falando. Além disso, a fórmula de proporcionalidade é baseada em uma média orbital da reação de radiação na ordem 2,5 pós-Newtoniana.


Os valores apresentados no artigo são para a época $ T_0 = 52144.90097844 $ (MJD): $$ small { begin {eqnarray *} P_0 & = & 0.322997448930 , (4) , mathrm {d} \% dot {P} _0 & = & - (2,4184 pm0.0009) times 10 ^ {- 12} \% dot {P} _0 ^ { scriptsize text {corr}} & = & - (2,4056 pm 0,0051) vezes 10 ^ {- 12} ponto {P} _0 ^ { scriptsize text {GTR}} & = & −2.40242 , (2) vezes 10 ^ {- 12} end {eqnarray *}} $$ Assim, podemos calcular a razão $ x_0 = dot {P} _0 / P_0 = -8.60867 , (7) times 10 ^ {- 17} , mathrm {s} ^ {- 1} $. A diferença entre $ T_0 $ e o início de 1975 é $ delta t = 9731 , mathrm {d} $, que não é longa o suficiente para que essa razão mude apreciavelmente, uma vez que a correção de primeira ordem relativa seria em torno de $ | dot {x} _0 ( delta t) / x_0 | sim | x_0 ( delta t) | sim 10 ^ {- 7} $.

Alternativamente, seguindo Zibadawa Timmy, também podemos resolver $ K = dot {P} P ^ {5/3} $ explicitamente para $ K $ constante, o que não é exatamente verdadeiro, mas se aproxima bem: $$ newcommand { constKeq} { overset { scriptize dot {K} approx 0} {=}} begin {eqnarray *} P & constKeq & left [P_0 ^ {8/3} + frac {8} {3} dot {P} _0P_0 ^ {5/3} t right] ^ {3/8} ! ! ! ! ! Text {,} x & constKeq & frac { dot {P}} {P} = frac {x_0} {1+ frac {8} {3} x_0t} text {,} end {eqnarray *} $$ e, portanto, $ left.x right | _ {1975} $ é de fato indistinguível de $ x_0 $ neste nível de precisão.

Eu representei (em azul claro) o resultado da fórmula de deslocamento quadrático com este $ x $ e sobrepus o gráfico do artigo de Weisberg & Taylor (cortado nas bordas externas e depois redimensionado para $ 500 vezes 500 , mathrm { px} $):

É uma correspondência exata, exceto por uma mudança de tempo constante, que é apenas uma questão de quando definimos o tempo $ t = 0 $. PSR B1913 + 16 foi realmente descoberto em 1974, e o primeiro ponto de dados é no final de 1974. É por isso que meu gráfico foi ligeiramente alterado por uma fração de ano.


Não estou claro se sua fórmula exclui o efeito do avanço do periastro (4,226595 graus por ano): - (A) Se não, o efeito do avanço do periastro é tão grande que a mudança no período devido à emissão da onda gravitacional não é visível no gráfico e a concordância com a teoria não pode ser avaliada ...

A previsão GTR da mudança cumulativa do tempo periastro é feita através da equação (1) no papel, que prescreve $ dot {P} _0 = left. Dot {P} _b right | _ {t = 0} $ . O tempo do periastro é bem definido porque depende da abordagem mais próxima, então a magnitude do avanço posicional do periastro $ langle dot { omega} rangle = 4.226595 ^ circ / mathrm {ano} $ não é diretamente relevante . GTR tb prevê $ langle dot { omega} rangle $, mas não é isso que estamos considerando aqui.

A anomalia média não é realmente um ângulo, apesar de contar cada periastro como $ 2 pi $. Não é um ângulo mesmo em órbitas elípticas Keplerianas exatas, embora tenham exatamente o mesmo periastro em cada período. Portanto, $ langle dot { omega} rangle $ é um problema diferente.

(B) Em caso afirmativo, devemos concluir que a emissão da onda gravitacional causa mudança no período de aproximadamente 4s em 10 anos?

O período muda um pouco menos que $ 1 , mathrm {ms} $ ao longo de uma década, como você já calculou acima.


Quanto a resolver a equação, $ dP / dt = K / P ^ {5/3} $ é uma equação diferencial separável. Veja a primeira seção aqui. O Google também traz várias páginas que descrevem como resolver essas equações.

Em particular, reescrevemos a equação na forma diferencial como: $$ P ^ {5/3} , dP = K , dt. $$

Falando livremente, limpei os denominadores, com o objetivo de juntar as coisas $ P $ de um lado e as coisas $ t $ do outro. Tecnicamente não é nada disso, mas fingir que está funcionando. Estou assumindo implicitamente que $ K $ não depende de $ P $, que sua postagem apóia.

Agora integramos os dois lados: $$ {3 over8} P ^ {8/3} = int P ^ {5/3} , dP = int K , dt, $$ onde deixamos a integral do lado direito cobrir a constante de integração.

Portanto, nossa solução é $$ P = left ({8 over3} int K , dt right) ^ {3/8}, $$ com a condição inicial definindo a constante de integração.

Observe que obtive uma oitava raiz ao encontrar $ P $, portanto, precisamos que a função dentro seja não negativa.

Sua postagem sugere que $ K $ é independente do tempo, caso em que $ int K , dt = K t + C $ para alguma constante $ C $ que é determinada pelas condições iniciais. Se depender do tempo, você deve fazer a integração de acordo ou usar os dados para estimá-la.


MÉTODO 4: Previsão de CPTS usando uma aproximação de série binomial grosseira.

Este método não faz suposições sobre anomalia média. Órbita é definida como o ciclo de um periapsis ao próximo periapsis.


RESUMO

O tempo do $ 0 $ th ao $ N $ th periastro pode ser obtido a partir da seguinte soma, a partir da qual uma expressão binomial pode ser derivada

$$ frac {T_N} {P_0} qquad = sum_ {i = 1} ^ {i = N} (1+ ponto P) ^ i qquad = N + sum_ {j = 2} ^ {N +1} binom {N + 1} {j} ponto P ^ {j-1}. $$

Para nossos propósitos, os termos em $ dot P $ maiores do que a primeira ordem podem ser descartados levando a

$$ T_ {N} = N {P_0} + P_0 frac {N ^ 2 + N} {2} { ponto P}. $$

A diferença de tempo entre os $ N $ th periapses de um sistema de período estacionário e um sistema de período decadente é então

$$ Delta t_ {N} = 0,5 P_0 { ponto P} (N ^ 2 + N) $$

Isso dá resultados que estão de acordo com o gráfico de Wesiberg & Taylor e a fórmula da resposta de Stan Liou.


Definições e suposições

Vamos considerar a variação ao longo do tempo no período de órbita. Weisberg & Taylor fornecem uma fórmula para a variação do "período" com o tempo. No entanto, o significado de "período em um ponto no tempo" é ambíguo quando o período está mudando com o tempo. Portanto, temos que definir como "período em um ponto no tempo" se traduz em um intervalo de tempo entre o início e o fim de um determinado ciclo orbital (por exemplo, de periapsia a periapsia). Neste método, iremos "falsificar" a tradução assumindo (A1) que o intervalo de tempo entre os periapses sucessivos é igual ao "período hipotético no momento do fim do ciclo". Também para "inicializar" o modelo, assumiremos (A2) que no tempo zero ($ t = 0 $) o período hipotético é $ H_o $ e, portanto, o período hipotético no final do primeiro ciclo é dado por $ H_1 = H_o + H_o ponto H $. Portanto, por (A1) temos a seguinte definição da duração do primeiro ciclo $ D_1 = H_1 = H_o + H_o dot H $.

Além disso, assumimos (A3) que, ao longo do período de consideração (~ 40 anos), a taxa de variação do período com o tempo é efetivamente constante ($ ddot H = 0 $ e $ dot H (t) = constante = ponto H $). (Veja a resposta de Stan Liou para justificativa). Assim, temos $$ H (t) = H (0) + t ponto H. $$ É enfatizado que essas suposições não são estritamente mapeáveis ​​para um modelo físico consistente. No entanto, dado que estamos lidando com mudanças muito pequenas no período em um número muito grande de órbitas, o conjunto de regras pode ser útil. Devemos prosseguir e ver o que sai. Doravante, não vou distinguir entre o período hipotético $ H $ e a duração do ciclo $ D $. Vou assumir que ambos são representados pelo mesmo período de termo $ P $ e que a duração $ P $ de um determinado ciclo de periapsia a periapsia é igual ao período hipotético $ P (t) $ onde $ t $ é a época de o fim do ciclo. Além disso, $ dot P $ representará a taxa de mudança do período hipotético e também a taxa de mudança da duração do ciclo entre os ciclos.

$ P_N $ é o período da órbita $ N $ th (órbita $ O_N $). O número de órbita $ 0 $ termina em $ t = T_0 = 0 $ no número do periélio $ 0 $ e tem período $ Po = P (0) $. A primeira órbita considerada ($ O_1 $) começa no tempo $ t = 0 $ no número do periélio $ 0 $ e termina no número do periélio $ 1 $ no tempo $ t = T_1 $ e tem duração do período $ P_1 = P_0 + P_0 ponto P = P (T_1) $. Portanto, podemos escrever

$$ P_1 = P_0 (1+ ponto P) ^ 1 $$ $$ P_2 = P_1 (1+ ponto P) = P_0 (1+ ponto P) (1+ ponto P) = P_0 (1+ ponto P) ^ 2 $$ $$ P_3 = P_2 (1+ ponto P) = P_0 (1+ ponto P) (1+ ponto P) (1+ ponto P) = P_0 (1+ ponto P) ) ^ 3 $$ Em geral, então, o período de qualquer órbita é dado pela fórmula: $$ P_N = P_0 (1+ ponto P) ^ N. $$

Agora vamos considerar o Tempo $ T $ em que cada órbita termina. Temos $$ T_1 = T_0 + P_1 = P_1 = P_0 (1+ ponto P) $$ $$ T_2 = T_1 + P_2 = P_1 + P_2 = P_0 (1+ ponto P) + P_0 (1+ ponto P ) ^ 2 $$ $$ T_3 = T_2 + P_3 = P1 + P2 + P3 = P_0 (1+ ponto P) + P_0 (1+ ponto P) ^ 2 + P_0 (1+ ponto P) ^ 3 $ $ $$ T_N = P_1 + P_2 +… + P_N = P_0 (1+ ponto P) + P_0 (1+ ponto P) ^ 2 +… + P_0 (1+ ponto P) ^ N. $$

Assim, $$ T_N = {P_0} sum_ {i = 1} ^ {i = N} (1+ ponto P) ^ i ,. $$

(A nota no final desta resposta explora uma maneira de proceder que usa um equivalente exato desta expressão em uma forma não serial. No entanto, essa rota não é produtiva devido a dificuldades com exponenciais.)


Devemos proceder da seguinte forma, (usando $ k $ no lugar de $ ponto P $) $$ frac {T_N} {P_0} = S_N = sum_1 ^ N (1 + k) ^ i $$

Podemos multiplicar os primeiros termos e examinar os padrões a seguir pirâmide… $$ (1 + k) ^ 1 = k +1 $$ $$ (1 + k) ^ 2 = k ^ 2 + 2k +1 $$ $$ (1 + k) ^ 3 = k ^ 3 + 3k ^ 2 + 3k +1 $$ $$ (1 + k) ^ 4 = k ^ 4 + 4 k ^ 3 + 6 k ^ 2 + 4 k + 1 $$ $$ (1 + k) ^ 5 = k ^ 5 + 5 k ^ 4 + 10 k ^ 3 + 10 k ^ 2 + 5 k + 1 $$ $$ (1 + k) ^ 6 = k ^ 6 + 6 k ^ 5 + 15 k ^ 4 + 20 k ^ 3 + 15 k ^ 2 + 6 k + 1 $$

Então, por exemplo, para $ N = 3 $ obteríamos a soma $$ S_3 = k ^ 3 + 4k ^ 2 + 6k +1 $$

Os resultados sugerem uma solução com um padrão da forma $$ S_N = a + bk ^ 1 + ck ^ 2 + dk ^ 3… $$

Podemos ver imediatamente que $ a = N $. Os outros coeficientes aumentam com $ N $. Pode ser possível determinar uma fórmula para os coeficientes do padrão. Embora o padrão geral não seja convergente, é possível que para certas faixas restritas de $ N $ e $ k $ uma fórmula convergente possa ser obtida. Nesse caso, pode ser possível obter uma aproximação útil de $ S_N $ avaliando os primeiros termos da série.


A seguinte equação binomial foi derivada em uma resposta a esta pergunta em Maths This Site pelo usuário 73985

$$ sum_1 ^ N (1 + k) ^ i qquad = qquad N + sum_ {j = 2} ^ {N + 1} binom {N + 1} {j} k ^ {j-1} $$ Então $$ S_N = N + sum_ {j = 2} ^ {N + 1} frac {(N + 1)!} {(N + 1-j)! J!} K ^ {j-1 } $$

então $$ S_N = N + frac {(N + 1)!} {(N-1)! 2!} k ^ {1} + frac {(N + 1)!} {(N-2)! 3!} K ^ {2} + frac {(N + 1)!} {(N-3)! 4!} K ^ {3} +… $$

dando $$ S_N = N + frac {(N + 1) (N)} {2!} k ^ {1} + frac {(N + 1) (N) (N-1)} {3!} k ^ {2} + frac {(N + 1) (N) (N-1) (N-2)} {4!} k ^ {3} +… $$

assim, $$ S_N = N + frac {N ^ 2 + N} {2} k ^ {1} + frac {N ^ 3-N} {6} k ^ {2} + frac {N ^ 4- 2 N ^ 3-N ^ 2 + 2 N} {24} k ^ {3} +… $$ (Alternando de $ k $ para $ dot P $…) Para $ N = 10.000 $ e $ { k = dot P} = 2,40242 * 10 ^ {- 12} $ a proporção de cada termo para o próximo termo é maior que $ 1: N { dot P} approx 1: 2,4 * 10 ^ {- 8} $ então para nossos propósitos, esta fórmula pode ser aproximada truncando para a potência de primeira ordem de $ { dot P} $ para dar $$ S_ {N} = frac {T_ {N}} {P_0} = N + frac {N ^ 2 + N} {2} { ponto P} ^ {1} $$ Então $$ T_ {N} = N {P_0} + P_0 frac {N ^ 2 + N} {2} { ponto P} $$ e assim a diferença de tempo entre o enésimo periapses ($ P $ fixo - $ P $ decadente) é

$$ Delta t_ {N} = P_0 { dot P} frac {N ^ 2 + N} {2} $$ e para $ N = 10.000 $ obtemos (do Excel) $ Delta t = 3,35255 s $ que está muito próximo do valor $ (3.35221 s) $ obtido da fórmula de Stan Liou ($ Delta t = 0,5 { dot P} / P_0 t ^ 2 $).

Mais de 30 anos (33.924,42 ciclos) $ Delta t $ = 38,5806 $ s $ que é muito próximo ao valor indicado pelo gráfico e pela fórmula de Stan Liou $ (38,5794 s) $.


Observação

WolframAlpha indica a igualdade

$$ T_N = {P_0} sum_ {i = 1} ^ {i = N} (1+ ponto P) ^ i qquad = frac {P_0} { ponto P} , (1+ ponto P ) [(1+ ponto P) ^ N -1] $$

Para $ ponto P $ pequeno, isso pode ser aproximado por: - $$ T_N = frac {P_0} { ponto P} , (1+ ponto P) [(1 + N ponto P) -1] = frac {P_0} { ponto P} , (1+ ponto P) (N ponto P) = N {P_0} , (1+ ponto P). $$ O tempo final de $ N $ ciclos do período $ P_ {constant} = P_0 $ será $ T_ {NC} = N P_0 $. E assim a diferença de tempo entre os tempos finais de (i) N ciclos da constante $ P $ e (ii) $ N $ ciclos de decadência $ P $ é aproximada por $$ Delta t = NP_0 - NP_0 (1- ponto P) = NP_0 ponto P. $$ Para $ P_0 $ = 0,322997448930 d = 27906,979587552 se $ ponto P $ = -2,40242 x 10 $ ^ {- 12} $ obtemos $ (P_0 , ponto P) = $ -6,70442859007267 $ ^ {- 08} $. Para $ N = 10.000 $ ciclos (aproximadamente 10 anos), isso indica uma diferença de tempo de 6,70442859007267 $ ^ {- 03} $ s, cerca de $ 7 ms $. Essa diferença de tempo é muito pequena em comparação com o valor indicado aproximadamente pelo gráfico original e o valor calculado pela fórmula de Stan Liou, da qual esperaríamos uma diferença de tempo de cerca de 3 $ s $. A explicação é que a aproximação de primeira ordem não é adequada neste caso porque o valor verdadeiro de $ Delta t $ é muito pequeno em comparação com $ t $.


MÉTODO 3 Previsão de tempos de periastro e durações de ciclo da fase orbital ($ Phi $)

Na resposta de Stan Liou ele usa uma aproximação da série de Taylor da anomalia média para derivar uma bela fórmula que determina o valor CPTS (deslocamento de tempo de periélio cumulativo) como uma função de $ t ^ 2 $. Esta fórmula produz resultados muito próximos aos gráficos de Weisberg & Taylor. Como demorei um pouco para entender como a anomalia média pode ser aplicada a uma órbita de período decadente, achei útil observar aqui o que aprendi e apresentar uma maneira ligeiramente diferente de obter uma fórmula para prever os tempos do periastro.

A anomalia média indica basicamente a fase da órbita em uma época particular, por ex. que fração de tempo do período de órbita foi concluída. Para anomalia média, a fração é dimensionada em $ 2 pi $. Seja $ Phi (t) $ a fase da órbita no tempo $ t $ tal que no início da órbita $ t = 0 $ e $ Phi (0) $ = 0 e no final da órbita quando $ t = P $ (o período da órbita) $ Phi (P) $ = 1. Vou assumir que uma órbita começa em um periapsia e termina no próximo periapsia.

Em um sistema orbital de período decadente, o valor de $ P (t) $ muda com $ t $. Aqui $ P $ é o período de órbita. Em uma órbita de período de decadência, assumirei que a fase orbital $ Phi (t) $ é completamente especificada pelo tempo $ t $ e $ P (t) $ ou $ F (t) $, ou seja, precessão aspidial, mudanças progressivas em o comprimento do semi-eixo maior ou excentricidade não levam a mudanças adicionais significativas na fase.

Em um sistema de período decadente, o conceito de período em uma determinada época é um tanto abstrato; pode ser interpretado como um período hipotético que ocorreria depois disso se a força que causa a mudança de período cessasse naquele momento particular. Em vez de período, podemos pensar em termos de $ F (t) = 1 / P (t) $, onde $ F $ é a frequência orbital.

Gosto de pensar em $ F (t) $ como "a taxa de mudança de fase com o tempo", ou seja, $ F (t) = dot { Phi} (t) $. Imagine um relógio de fase imaginário compreendendo um mostrador circular cuja circunferência tem marcações que vão de $ Phi = 0 $ em um círculo completo a $ Phi = 1 $. A fase $ Phi (t) $ de nosso sistema de assunto em qualquer época $ t $ será indicada por um marcador em um ponto particular na circunferência do mostrador. Então $ F (t) $ pode ser considerado como a velocidade na qual o marcador está se movendo ao redor da circunferência do mostrador em uma determinada época $ t $. Em um curto intervalo de tempo particular $ delta t $, o marcador (estado do sistema) se moverá uma certa distância ao redor do mostrador e essa distância percorrida indicará a mudança de fase. A "viagem" (mudança de fase) dependerá do valor de $ F $ durante esse tempo conforme $ delta Phi approx delta t * F (t) $. Isso é apenas aproximado porque F (t) muda durante o intervalo $ delta t $.

Agora, vamos supor que o intervalo de tempo $ T $ entre os periaspes sucessivos seja conhecido e que o tempo do primeiro periapsia esteja em $ t = 0 $. Se $ P (t) $ (e, portanto, $ F (t) $ também) mudasse passo a passo entre os intervalos de tempo, então poderíamos escrever

$$ sum_ {i = 1} ^ {i = N = T / delta t} frac { delta t} {P (t)} = sum_ {i = 1} ^ {i = N = T / delta t} delta t F (t) = sum_ {i = 1} ^ {i = N = T / delta t} delta Phi (t) = 1. $$

Para representar $ P $ e $ F $ em constante mudança, reduzimos $ Delta t $ a zero e obtemos essas funções integrais

$$ int_ {t = 0} ^ {t = T} frac {1} {P (t)} , mathrm {d} t = int_ {t = 0} ^ {t = T} F ( t) , mathrm {d} t = int_ {t = 0} ^ {t = T} dot { Phi} (t) , mathrm {d} t = 1. $$

A qualquer momento $ tau $ durante a órbita ($ 0 leq tau leq 1 $) a fase instantânea atual é dada por $$ Phi ( tau) = int_ {t = 0} ^ {t = tau } dot { Phi} (t) , mathrm {d} t = int_ {t = 0} ^ {t = tau} F (t) , mathrm {d} t = int_ {t = 0} ^ {t = tau} frac {1} {P (t)} , mathrm {d} t. $$

e dado um valor constante de $ dot P $ (a taxa de variação do período), e $ P_o = P (0) $ obtemos $$ Phi ( tau) = int_ {t = 0} ^ {t = tau} frac {1} {P_o + dot P t} , mathrm {d} t qquad mathrm {e} qquad dot { Phi} ( tau) = F ( tau) = frac {1} {P ( tau)} = frac {1} {P_o + ponto P tau}. $$

Usando

$$ frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t} left ( frac {1} {f (x)} right) = frac {- ponto f (x)} {f (x) ^ 2} qquad mathrm {e} qquad f (x) = P_o + tau dot P qquad mathrm {e} qquad dot f (x) = ponto P $$

obtemos $$ ddot Phi ( tau) = frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t} left ( frac {1} {P_o + tau dot P} right) = frac {- ponto P} {P_o ^ 2 + ( tau ponto P) ^ 2 + 2 P_o tau ponto P} $$

e para $ tau = 0 $ obtemos $$ Phi (0) = 0 qquad mathrm {e} qquad dot { Phi} (0) = frac {1} {P_o} qquad mathrm {e} qquad ddot Phi (0) = frac {- ponto P} {P_o ^ 2}. $$


PREVISÃO DOS TEMPOS DO PERIASTRON

Podemos obter uma expressão para CPTS copiando a abordagem de Stan Liou, mas usando fase ($ Phi $) em vez de anomalia média ($ M $).

Escreva a fase no tempo $ tau $ como uma série Maclaurin (uma série de Taylor com $ a = 0 $): $$ begin {eqnarray *} Phi ( tau) equiv int_ {t = 0} ^ { t = tau} dot { Phi} (t) , mathrm {d} t & = & Phi (0) + dot { Phi} (0) tau + frac {1} {2 } ddot { Phi} (0) tau ^ 2 + mathcal {O} ( tau ^ 3) & = & 0 + frac {1} {P_0} tau - frac { dot { P}} {2P_o ^ 2} tau ^ 2 + mathcal {O} ( tau ^ 3) text {.} End {eqnarray *} $$

Descartando a terceira ordem e os termos de erro residual (a resposta de Stan Liou explica a justificativa para isso), obtemos

$$ Phi ( tau) approx frac {1} {P_0} tau- frac { dot {P}} {2P_o ^ 2} tau ^ 2. $$

Deixe $ N $ contar o número de órbitas completadas em algum momento $ tau_N $. Então, a fase no final da órbita número $ N $ é dada por $ Phi ( tau_N) = N $. Em um sistema estável (A), o período orbital $ P_o $ permanece constante $ ponto P = 0 $ e assim o tempo $ tau_ {NA} $ no qual a $ N $ th órbita completada é dado exatamente por $ tau_ { NA} = NP_o $ e, portanto, $ N = tau_ {NA} / P_o $. Em um sistema de período decadente (B), a enésima órbita completa no tempo $ tau_ {NB} $ quando $ Phi ( tau_ {NB}) = N $ mas com $ Phi ( tau_ {NB}) $ dependendo em um valor diferente de zero de $ dot P $.

$$ begin {align} & Phi ( tau_ {NA}) = N = frac {1} {P_0} tau_ {NA} & Phi ( tau_ {NB}) = N approx frac {1} {P_0} tau_ {NB} - frac { dot {P}} {2P_o ^ 2} tau_ {NB} ^ 2. end {align} $$

Podemos obter uma fórmula para $ Delta t_ {N} $ que é a diferença de tempo entre $ tau_ {NB} $ (a época do sistema decadente $ N $ th periastron) e $ tau_ {NA} $ ( a época do sistema estacionário $ N $ th periastron) como segue. Observe que, seguindo Weisberg e Taylor, definimos $ Delta t_ {N} , (= $ CPTS $) = tau_ {NB} - tau_ {NA} $. O $ N $ ésimo periastro no sistema do período de decadência ocorre antes do $ N $ ésimo periastro no sistema estável. Portanto, $ Delta t_ {N} $ (= $ CPTS $) se tornará cada vez mais negativo com o passar do tempo (conforme $ t $ aumenta). $$ frac { tau_ {NA}} {P_o} = N approx frac { tau_ {NB}} {P_0} - frac { dot P} {2P_o ^ 2} , { tau_ {NB }} ^ 2 $$

$$ { tau_ {NA}} approx { tau_ {NB}} - frac { dot P} {2P_o} , { tau_ {NB}} ^ 2 $$

$$ Delta t_N = tau_ {NB} - tau_ {NA} approx + frac { dot P} {2P_o} , { tau_ {NB}} ^ 2 $$

que é a aproximação de Stan Liou para $ Delta t_N $.

Então, qual é o valor dessa equação? Em geral, suponha que determinamos o tempo $ t_0 $ do $ 0 $ th periastro e medimos com precisão um período orbital inicial $ P_o $ e mantemos o controle do periastra observado.

Caso 1 - observamos que o $ N $ th periastro ocorre em um determinado momento ($ tau_ {NB} $). Usando $ tau_ {NA} = N P_o $, podemos calcular facilmente $ Delta t_N = tau_ {NB} - tau_ {NA} $. Então, usando a aproximação de Stan Liou de $ Delta t_N $, podemos obter uma estimativa empírica de $ dot P $ de $$ { dot P} = frac {2 P_o , Delta t_N} { tau_ {NB} } ^ 2. $$

Caso 2 - temos uma fórmula teórica que, dada nossa medida de $ P_o $, prediz o valor de $ dot P $. Dados vários valores de $ N $ e usando $ tau_ {NA} = N P_o $ podemos facilmente calcular as épocas hipotéticas ($ tau_ {NA} $ para vários $ N $) do periastra hipotético do sistema estacionário. Agora desejamos traçar uma curva mostrando os valores teóricos de $ Delta t_N $ em várias épocas de periastro hipotéticas ($ tau_ {NA} $). Mas a equação de Stan Liou para $ Delta t_N $ usa $ tau_ {NB} $ não $ tau_ {NA} $. Precisamos encontrar $ Delta t_N $ como uma função de $ tau_ {NA} $. Portanto, precisaríamos resolver a seguinte equação quadrática para $ Delta t_N $ em termos de $ tau_ {NA} $ e $ K $, onde $ K = frac { dot P} {2 P_o} $:

$$ Delta t_ {N} = K { tau_ {NB}} ^ 2 = K ({ tau_ {NA}} ^ 2 + 2 tau_ {NA} Delta t_ {N} + { Delta t_ { N}} ^ 2) $$

$$ 0 = (K { tau_ {NA}} ^ 2 + 2K tau_ {NA} Delta t_ {N} + K { Delta t_ {N}} ^ 2) - Delta t_ {N} $$

$$ 0 = (K) { Delta t_ {N}} ^ 2 + (2K tau_ {NA} -1) Delta t_ {N} + (K { tau_ {NA}} ^ 2). $$


A seguinte maneira de obter uma equação para $ Delta t $ é mais demorada, mas fornecerá uma fórmula para $ Delta t $ como uma função de $ N $ (que pode ser facilmente convertida em uma função de $ tau_ {NA } $).

Começando com $$ frac { tau_ {NA}} {P_o} = frac {1} {P_0} tau_ {NB} - frac { dot P} {2P_o ^ 2} , { tau_ {NB }} ^ 2 $$

$$ tau_ {NA} = tau_ {NB} - frac { dot P} {2P_o} { tau_ {NB}} ^ 2 qquad rightarrow qquad 0 = - tau_ {NA} + tau_ {NB} - frac { dot P} {2P_o} , { tau_ {NB}} ^ 2 $$

Usando $ x = frac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} $ com $ a = - frac { dot P} {2P_o}, b = 1, c = - tau_ {NA} $ obtemos $$ tau_ {NB} = frac {- (1) pm sqrt {(1) ^ 2-4 (- frac { dot P} {2P_o}). (- tau_ {NA})}} {2 (- frac { dot P} {2P_o})} $$

$$ tau_ {NB} = frac {1 pm sqrt {1 - 2 frac { dot P} {P_o}. tau_ {NA}}} { dot P / {P_o}} qquad longrightarrow qquad tau_ {NB} = frac {P_o} { ponto P} left (1 pm sqrt {1 - 2 frac { dot P} {P_o}. tau_ {NA}} , , right) $$

Agora $ tau_ {NA} = P_o , N $ para que possamos escrever $$ tau_ {NB} = frac {P_o} { dot P} left (1 pm sqrt {1 - 2 dot PN } right) qquad longrightarrow qquad - Delta t = tau_ {NA} - tau_ {NB} = P_o left (N - frac {1} { dot P} left (1 pm sqrt {1 - 2 dot PN} right) right) $$

= = = = = = =

Podemos tentar uma aproximação simples disso usando $ (1+ alpha) ^ {0.5} = (1+ 0.5 alpha) $ de modo que $ sqrt {1 - 2 dot PN} approx 1- dot PN $ e por inspeção o "$ pm $" torna-se um "$ + $" $$ - Delta t = P_o left (N - frac {1} { dot P} left (1 pm 1 - ponto PN direita) direita) = P_o (N - N) = 0 $$

Esta é uma aproximação válida, mas vai longe demais para nossos propósitos! Sabemos que $ tau_ {NA} - tau_ {NB} neq 0 $. Então, vamos tentar expandir o termo $ [1 -2 dot P N] ^ {0,5} $ em uma expansão em série,

$$ [1 + (-2 ponto PN)] ^ {0,5} = 1 + frac {1} {2} (- 2 ponto PN) ^ {1} - frac {1} {8} (- 2 ponto PN) ^ {2} + frac {1} {16} (- 2 ponto PN) ^ {3} +… $$

$$ [1+ (-2 ponto PN)] ^ {0,5} = 1 - ponto PN - frac {1} {2} ( ponto PN) ^ {2} - frac {1} {2} ( ponto PN) ^ {3} +… $$

Vamos nos limitar a termos com $ dot P $ à potência de $ 2 $ ou menos, assim

$$ [1-2 ponto P N] ^ {0,5} aproximadamente 1 - ponto P N - frac {1} {2} ponto P ^ 2 N ^ 2. $$

Podemos inserir isso na equação da diferença de tempo

$$ - Delta t approx P_o left (N - frac {1} { ponto P} left (1 pm (1 - ponto PN - frac {1} {2} ponto P ^ 2N ^ 2 right) right) $$

por inspeção, o "$ pm $" torna-se um "$ - $"

$$ - Delta t approx P_o left (N - frac {1} { dot P} left (+ dot PN + frac {1} {2} dot P ^ 2 N ^ 2 right ) right) qquad longrightarrow qquad - Delta t approx P_o left (N - left (N + frac {1} {2} dot PN ^ 2) right) right) $$

$$ - Delta t approx - frac {1} {2} P_o ponto P , N ^ 2 qquad longrightarrow qquad Delta t approx frac {1} {2} P_o ponto P , N ^ 2 $$


Do artigo de Weisberg & Taylor, recebemos $ P_o = 27906.979587552 s $ e $ dot P = -2.40242 * 10 ^ {- 12} s / s $ então $ frac {1} {2} P_o dot P = - 0,5 * 27906,979587552 * 2,40242 * 10 ^ {- 12} = -3,352216747 * 10 ^ {- 08} s $.

Com $ N = 10.000 $ ciclos, obtemos $ Delta t = -3,352217 s $.

Observe que podemos fazer a substituição $ { tau_ {NA}} ^ 2 = N ^ 2 Po ^ 2 $ na equação de $ Delta t $ para dar $$ Delta t approx frac {1} {2 } P_o dot P , N ^ 2 = frac {1} {2} frac { dot P} {P_o} , { tau_ {NA}} ^ 2. $$ A diferença entre este $ Delta t $ e o valor de $ Delta t $ da equação de Stan Liou é $$ frac {1} {2} frac { dot P} {P_o} left ({ tau_ {NA}} ^ 2 - { tau_ {NB}} ^ 2 right) $$ $$ = frac {1} {2} frac { dot P} {P_o} left ({{ tau_ {NA}} ^ 2 - tau_ {NA} ^ 2 +2 tau_ {NA} Delta t + Delta t ^ 2} right) $$ $$ = frac {1} {2} frac { dot P} {P_o} left ({2 tau_ {NA} Delta t + Delta t ^ 2} right) $$ e a diferença como uma fração de $ Delta t $ $$ = frac {1} {2} frac { ponto P} {P_o} left ({2 tau_ {NA} + Delta t} right). $$

For the present case $(dot P/P_o approx 8.6 * 10^{-17})$ and so, after 34,000 periastron cycles (948,838,000 s, about 30 years) the difference between the two approximations of $Delta t$ would be only $0.8 * 10^{-8} s$ which is much smaller than the time resolution of the observations.


PREDICTING CYCLE DURATIONS

We can also derive an expression for the cycle duration $D$, as follows.

The start periaston is at $t=0=T0$ and the first following periaston is at $t=T1$ then $$ Phi(T1)=int_{t=0}^{t=T1}frac{1}{P(t)},mathrm{d}t = 1 $$ this can be expressed as $$ 1 =int_{t=0}^{t=T1}frac{1}{ dot{P} t + P_0 },mathrm{d}t = left[ frac{1}{dot{P}} ln ( Cdot{P}t + CP_0 ) ight]_0^{T1} $$ hence $$ dot{P} = ln ( Cdot{P}T1 + CP_0 ) - ln ( CP_0 ) = ln left( frac{ C ( dot{P}T1 + P_0 )} { C ( P_0 )} ight) = ln left( frac{ dot{P}T1 + P_0 } {P_0 } ight) $$

$$ ightarrow exp(dot{P}) = frac{ dot{P}T1 + P_0 } {P_0 } ightarrow P_0 exp(dot{P}) -P_0 = dot{P}T1 $$ giving us $$ ightarrow T1 = P_0 frac{exp(dot{P}) -1} {dot{P}} $$

so the duration of the first orbit (from start periastron to first following periastron) is $D_1 = T1-T0 = T1$ thus $$ D_1 = D_0 frac{exp(dot{P}) -1} {dot{P}} $$

and we can generalize this to $$ D_{N} = D_{N-1} left( frac{exp(dot{P}) -1} {dot{P}} ight) .$$

For example using the made-up value $dot P = -2.34,10^{-8}$ we obtain $$ D_{N+1} = D_{N} frac{exp(-2.34*10^{-5}) -1} {-2.34*10^{-8}} = 0.999 999 988 D_{N} $$

However, using standard arithmetical software (such as Excel) when we try to calculate using $dot P = -2.34,10^{-10}$ we get nonsense results because of truncation errors. The approximate value of $dot P$ reported for the Hulse-Taylor system is about $-2.34,10^{-12}$.

We can analyze the formula for $D_{N+1}$ using series expansions. A Taylor Series expansion of $exp(x)/x -1/x$ is given by WolframAlpha as

$$ exp(x)/x -1/x= 1 + frac{x}{2} + frac{x^2}{6} + frac{x^3}{24} + frac{x^4}{120} + frac{x^5}{720} + frac{x^6}{5040} + frac{x^7}{40320} + frac{x^8}{362880} + frac{x^9}{3628800} + frac{x^{10}}{39916800} +O(x^{11}) $$ or $$1 + frac{x^{2-1}}{2} + frac{x^{3-1}}{3*2} +… frac{x^{i-1}}{i!} +… $$ No easilly computable expression or approximation is obvious at present. Proceeding anyway, it is clear that the duration of any subsequent orbit $N$ can be computed from

$$ D_N = D_0 left(frac{exp^{dot P} -1} {dot P} ight) ^N = D_0 left(frac{1}{dot P} ight)^N left(exp^{dot P} -1 ight) ^N $$

It is interesting to compare this expression for cycle duration with that which was used as the basis of the coarse binomial solution (see other answer: Method 4)

$$D_1=D_0(1+dot P)^1$$

The ratio of durations Phase-based to Coarse binomial based is $$ D_0 left( frac{exp(dot P)-1}{dot P} ight)^{1} :D_0(1+dot P)^1 $$

becoming $$ frac{exp(dot P)-1}{dot P} :1+dot P qquad ightarrow exp(dot P)-1 :dot P +dot P^2 qquad ightarrow exp(dot P) : 1+dot P +dot P^2 $$

applying the series expansion of $exp(dot P)$ we obtain $$ qquad ightarrow 1+dot P + frac{dot P^2}{2} + frac{dot P^3}{6} + frac{dot P^4}{24} +,… , : 1+dot P +dot P^2 $$

Clearly the two expressions give different values for cycle duration $D$ and the difference appears at the term in $dot P^2$ and seems to be no bigger than $frac{dot P^2}{2}$.


Assista o vídeo: Classroom Aid - Hulse-Taylor Pulsar PSR B1913+16 (Outubro 2021).