Astronomia

Unidades e algumas equações

Unidades e algumas equações

Eu sou um estudante de graduação e sinto que esta é uma questão extremamente elementar que eu deve sei, mas admito que não. Ocasionalmente, na ciência, encontro-me resolvendo uma equação para alguma resposta em que parece que as unidades não se somam.

Por exemplo, em um universo dominado por matéria espacialmente plana com matéria não relativística, a idade aceita de tal universo é:

$$ t_0 = frac {2} {3} H_0 $$

Onde $ H_0 $ tem unidades de $ { rm km} cdot { rm s} ^ {- 1} cdot { rm Mpc} ^ {- 1} $.

Por que estou ganhando tempo com isso? Eu sei que funciona, eu sei que está correto. Este não é o único exemplo disso que já vi, mas é o mais recente em minha memória. Conceitualmente faz sentido, mas geralmente tenho o hábito de fazer análises dimensionais meticulosas e só me pergunto se há alguma metafísica ou filosofia profunda por trás de quando isso se aplica e quando não.


A constante de Hubble efetivamente tem uma unidade de tempo inverso apenas: $ { rm s} ^ {- 1} $:

Geralmente é dado como $ { rm km} cdot { rm s} ^ {- 1} { rm Mpc} ^ {- 1} $. Ainda olhando para ele, km e Mpc são unidades de comprimento, então eles se cancelam quando convertidos para a mesma unidade. Assim, adicione a conversão de unidade apropriada de km para Mpc e permanece um tempo inverso apenas:

$$ t = frac {1} {H_0} = frac { rm Mpc} {60 { rm km} cdot { rm s} ^ {- 1}} = frac {3 cdot 10 ^ { 22} { rm m} { rm s}} {60 cdot 1000 { rm m}} = 5 cdot 10 ^ {17} { rm s} = 15 { rm Ga} $$

Adicione fatores adimensionais à equação para explicar os diferentes modelos cosmológicos e teorias de inflação. De qualquer forma, este é apenas um número aproximado - mas fácil de obter para a idade do universo.


Unidades e Medidas Classe 11 Notas Física Capítulo 2

  1. Medição
    O processo de medição é basicamente um processo de comparação. Para medir uma quantidade física, temos que descobrir quantas vezes uma quantidade padrão daquela quantidade física está presente na quantidade que está sendo medida. O número assim obtido é conhecido como magnitude e o padrão escolhido é chamado de unidade da grandeza física.
  2. Unidade
    A unidade de uma quantidade física é um padrão escolhido arbitrariamente que é amplamente aceito pela sociedade e em termos do qual outras quantidades de natureza semelhante podem ser medidas.
  3. Padrão
    A incorporação física real da unidade de uma quantidade física é conhecida como um padrão dessa quantidade física.
    • Para expressar qualquer medição feita, precisamos do valor numérico (n) e da unidade (μ). Medição da quantidade física = valor numérico x unidade
    Por exemplo: Comprimento de uma haste = 8 m
    onde 8 é o valor numérico em (metro) é a unidade de comprimento.
  4. Quantidade / unidades físicas fundamentais
    É uma quantidade física elementar, que não requer nenhuma outra quantidade física para expressá-la. Isso significa que não pode ser resolvido em termos de qualquer outra quantidade física. Também é conhecido como quantidade física básica.
    As unidades de grandezas físicas fundamentais são chamadas de unidades fundamentais.
    Por exemplo, no sistema M. K. S., Massa, Comprimento e Tempo expressos em quilograma, metro e segundo, respectivamente, são unidades fundamentais.
  5. Quantidade / unidades físicas derivadas
    Todas essas grandezas físicas, que podem ser derivadas da combinação de duas ou mais grandezas fundamentais ou podem ser expressas em termos de grandezas físicas básicas, são chamadas de grandezas físicas derivadas.
    As unidades de todas as outras quantidades físicas, qual carro. ser obtidos a partir de unidades fundamentais, são chamadas de unidades derivadas. Por exemplo, as unidades de velocidade, densidade e força são m / s, kg / m3, kg m / s2 respectivamente e são exemplos de unidades derivadas.
  6. Sistemas de Unidades
    Anteriormente, três sistemas de unidades diferentes eram usados ​​em países diferentes. Estes eram os sistemas CGS, FPS e MKS. Hoje em dia, o sistema internacional de unidades SI é seguido. No sistema de unidades do SI, sete grandezas são consideradas as grandezas básicas.
    (i) Sistema CGS. Centímetro, grama e segundo são usados ​​para expressar comprimento, massa e tempo, respectivamente.
    (ii) Sistema FPS. Pé, libra e segundo são usados ​​para expressar comprimento, massa e tempo, respectivamente.
    (iii) Sistema MKS. O comprimento é expresso em metros, a massa é expressa em quilogramas e o tempo é expresso em segundos. Metro, quilograma e segundo são usados ​​para expressar comprimento, massa e tempo, respectivamente.
    (iv) Unidades SI. Comprimento, massa, tempo, corrente elétrica, temperatura termodinâmica, quantidade de substância e intensidade luminosa são expressos em metro, quilograma, segundo, ampere, kelvin, mol e candela, respectivamente.
  7. Definições de unidades fundamentais
  8. Unidades Suplementares
    Além das sete unidades acima mencionadas, existem duas unidades básicas suplementares. estes são (i) radiano (rad) para ângulo e (ii) estereoquímico (sr) para ângulo sólido.
  9. Vantagens do Sistema de Unidade SI
    O SI Unit System tem as seguintes vantagens sobre o outro. Além das sete unidades mencionadas acima, há duas unidades básicas suplementares. Estes são sistemas de unidades:

    (i) É aceito internacionalmente,
    (ii) É um sistema de unidades racional,
    (iii) É um sistema de unidades coerente,
    (iv) É um sistema métrico,
    (v) Está intimamente relacionado aos sistemas de unidades CGS e MKS,
    (vi) Usa sistema decimal, portanto é mais amigável.
  10. Outras unidades importantes de comprimento
    Para medir grandes distâncias, por exemplo, distâncias de planetas e estrelas, etc., algumas unidades maiores de comprimento, como & # 8216unidade astronômica & # 8217, & # 8216 ano luz & # 8217, parsec & # 8217 etc. são usadas.
    • A separação média entre a Terra e o sol é chamada de uma unidade astronômica.
    1 AU = 1,496 x 10 11 m.
    • A distância percorrida pela luz no vácuo em um ano é chamada de ano-luz.
    1 ano-luz = 9,46 x 10 15 m.
    • A distância na qual um arco de comprimento de uma unidade astronômica subtende um ângulo de um segundo em um ponto é chamada de parsec.
    1 parsec = 3,08 x 10 16 m
    • Tamanho de um minúsculo núcleo = 1 fermi = If = 10 -15 m
    • Tamanho de um minúsculo átomo = 1 angstrom = 1A = 10 -10 m
  11. Método Parallax
    Este método é usado para medir a distância de planetas e estrelas da Terra.
    Paralaxe. Segure uma caneta na frente de seus olhos e olhe para a caneta fechando o olho direito e & # 8216, em seguida, o olho esquerdo. O que você observa? A posição da caneta muda em relação ao fundo. Esta mudança relativa na posição da caneta (objeto) w.r.t. o fundo é denominado paralaxe.
    Se um objeto distante, por exemplo, um planeta ou uma estrela, subtende o ângulo de paralaxe 0 em um arco de raio b (conhecido como base) na Terra, então a distância desse objeto distante da base é dada por

    • Para estimar o tamanho dos átomos, podemos usar o microscópio eletrônico e a técnica de microscopia de tunelamento. O experimento de espalhamento de partículas a de Rutherford & # 8217s nos permite estimar o tamanho dos núcleos de diferentes elementos.
    • Relógios de pêndulo, relógios mecânicos (nos quais as vibrações de uma roda de balanço são usadas) e relógios de quartzo são comumente usados ​​para medir o tempo. Os relógios atômicos de césio podem ser usados ​​para medir o tempo com uma precisão de 1 parte em 10 13 (ou com uma discrepância máxima de 3 ps por ano).
    • A unidade SI de massa é o quilograma. Ao lidar com átomos / moléculas e partículas subatômicas, definimos uma unidade conhecida como & # 8220 unidade de massa atômica unificada & # 8221 (1 u), onde 1 u = 1,66 x 10 -27 kg.
  12. Estimativa do tamanho molecular do ácido oleico
    Para isso, 1 cm 3 de ácido oleico é dissolvido em álcool para fazer uma solução de 20 cm 3. Em seguida, 1 cm 3 desta solução é retirado e diluído para 20 cm 3, usando álcool. Portanto, a concentração da solução é a seguinte:

    Depois disso, um pouco de pó de licopódio é ligeiramente borrifado na superfície da água em uma grande calha e uma gota dessa solução é colocada em água. A gota de ácido oleico se espalha em um filme fino, grande e quase circular de espessura molecular na superfície da água. Em seguida, o diâmetro do filme fino é medido rapidamente para obter sua área A. Suponha que n gotas tenham sido colocadas na água. Inicialmente, é determinado o volume aproximado de cada gota (V cm 3).
    Volume de n gotas de solução = nV cm 3
    Quantidade de ácido oleico nesta solução

    A solução de ácido oleico se espalha muito rápido na superfície da água e forma uma camada muito fina de espessura t. Se isso se espalhar para formar um filme de área A cm 2, então a espessura do filme

    Se assumirmos que o filme tem espessura monomolecular, isso se torna o tamanho ou diâmetro de uma molécula de ácido oleico. O valor dessa espessura acaba sendo da ordem de 10 -9 m.
  13. Dimensões
    As dimensões de uma quantidade física são as potências às quais as unidades fundamentais de massa, comprimento e tempo devem ser elevadas para representar a quantidade física dada.
  14. Fórmula Dimensional
    A fórmula dimensional de uma quantidade física é uma expressão que nos diz como e quais das quantidades fundamentais entram na unidade dessa quantidade.
    É comum expressar as quantidades fundamentais por uma letra maiúscula, por exemplo, comprimento (L), massa (AT), tempo (T), corrente elétrica (I), temperatura (K) e intensidade luminosa (C). Escrevemos potências apropriadas dessas letras maiúsculas entre colchetes para obter a fórmula dimensional de qualquer quantidade física dada.
  15. Aplicações de Dimensões
    O conceito de dimensões e fórmulas dimensionais têm os seguintes usos:
    (i) Verificar os resultados obtidos
    (ii) Conversão de um sistema de unidades para outro
    (iii) Derivação de relações entre quantidades físicas
    (iv) Escalonamento e estudo de modelos.
    O princípio subjacente para esses usos é o princípio da homogeneidade das dimensões. De acordo com este princípio, as dimensões & # 8216net & # 8217 das várias quantidades físicas em ambos os lados de uma relação física permissível devem ser as mesmas e apenas quantidades dimensionalmente semelhantes podem ser adicionadas ou subtraídas umas das outras.
  16. Limitações da Análise Dimensional
    O método das dimensões tem as seguintes limitações:
    (i) por este método, o valor da constante adimensional não pode ser calculado.
    (ii) por este método a equação contendo termos trigonométricos, exponenciais e logarítmicos não pode ser analisada.
    (iii) se uma quantidade física na mecânica depende de mais de três fatores, então a relação entre eles não pode ser estabelecida porque podemos ter apenas três equações equalizando as potências de M, L e T.
    (iv) não diz se a quantidade é vetorial ou escalar.
  17. Figuras Significativas
    Os algarismos significativos são uma medida de precisão de uma medição particular de uma quantidade física.
    Os números significativos em uma medição são aqueles dígitos em uma quantidade física que são conhecidos de forma confiável mais o primeiro dígito que é incerto.
  18. As regras para determinar o número de figuras significativas
    (i) Todos os dígitos diferentes de zero são significativos.
    (ii) Todos os zeros entre dígitos diferentes de zero são significativos.
    (iii) Todos os zeros à direita do último dígito diferente de zero não são significativos em números sem vírgula decimal.
    (iv) Todos os zeros à direita de uma vírgula decimal e à esquerda de um dígito diferente de zero não são significativos.
    (v) Todos os zeros à direita de uma vírgula decimal e à direita de um dígito diferente de zero são significativos.
    (vi) Além e subtração, devemos manter a menor casa decimal entre os valores operados, no resultado.
    (vii) Na multiplicação e divisão, devemos expressar o resultado com o menor número de algarismos significativos associado ao número menos preciso em operação.
    (viii) Se a notação científica não for usada:
    (a) Para um número maior que 1, sem qualquer decimal, os zeros à direita não são significativos.
    (b) Para um número com decimal, os zeros finais são significativos.
  19. Erro
    O valor medido da quantidade física geralmente é diferente de seu valor real. O resultado de cada medição por qualquer instrumento de medição é um número aproximado, que contém alguma incerteza. Essa incerteza é chamada de erro. Cada quantidade calculada, baseada em valores medidos, também apresenta um erro.
  20. Causas de erros na medição
    A seguir estão as causas dos erros de medição:

    Erro de contagem mínima. O menor erro de contagem é o erro associado à resolução do instrumento. A contagem mínima pode não ser suficientemente pequena. O erro máximo possível é igual à menor contagem.
    Erro Instrumental. Isto é devido a calibração defeituosa ou mudança nas condições (por exemplo, expansão térmica de uma escala de medição). Um instrumento também pode ter um erro zero. Uma correção deve ser aplicada.
    Erro aleatório. Isso também é chamado de erro casual. Isso dá resultados diferentes para as mesmas medições feitas repetidamente. Presume-se que esses erros sigam a lei gaussiana de distribuição normal.
    Erro acidental. Este erro fornece resultados muito altos ou muito baixos. As medições que envolvem esse erro não são incluídas nos cálculos.
    Erro sistemático. Os erros sistemáticos são aqueles erros que tendem a ser em uma direção, seja positiva ou negativa. Erros devido à flutuabilidade do ar na pesagem e perda de radiação na calorimetria são erros sistemáticos. Eles podem ser eliminados por manipulação. Algumas das fontes de erros sistemáticos são:
    (i) erro intrumental
    (ii) imperfeição na técnica ou procedimento experimental
    (iii) erros pessoais
  21. Erro absoluto, erro relativo e erro percentual


  1. Combinação de Erros
  2. TABELAS IMPORTANTES






Unidades e algumas equações - Astronomia

O SI é baseado em sete Unidades de base SI por sete quantidades básicas assumido ser mutuamente independente, conforme apresentado na Tabela 1.

Para obter informações detalhadas sobre as unidades de base do SI, consulte Definições das unidades de base do SI e seu contexto histórico.

Outras quantidades, chamadas quantidades derivadas, são definidos em termos das sete grandezas básicas por meio de um sistema de equações de grandeza. O Unidades derivadas de SI pois essas quantidades derivadas são obtidas a partir dessas equações e das sete unidades de base do SI. Exemplos de tais unidades derivadas do SI são dados na Tabela 2, onde deve ser observado que o símbolo 1 para quantidades de dimensão 1, como fração de massa, é geralmente omitido.

Tabela 2. Exemplos de unidades derivadas do SI
Unidade derivada de SI
Quantidade derivada Nome Símbolo
área metro quadrado m 2
volume metro cúbico m 3
Velocidade da velocidade metro por segundo em
aceleração metro por segundo ao quadrado m / s 2
número de onda medidor recíproco m -1
densidade de massa quilograma por metro cúbico kg / m 3
volume específico metro cúbico por quilograma m 3 / kg
densidade atual ampere por metro quadrado A / m 2
Força do campo magnético ampere por metro Sou
concentração de quantidade de substância mol por metro cúbico mol / m 3
luminância candela por metro quadrado cd / m 2
fração de massa quilograma por quilograma, que pode ser representado pelo número 1 kg / kg = 1

Tabela 3. Unidades derivadas do SI com
Unidade derivada de SI
Quantidade derivada Nome Símbolo Expressão
em termos de
outras unidades SI
Expressão
em termos de
Unidades de base SI
ângulo plano radiano (a) rad - m & # 183m -1 = 1 (b)
Angulo solido steradian (a) sr (c) - m 2 e # 183m -2 = 1 (b)
frequência hertz Hz - s -1
força Newton N - m & # 183kg & # 183s -2
pressão, estresse pascal Pa N / m 2 m -1 e # 183kg e # 183s -2
energia, trabalho, quantidade de calor joule J N & # 183m m 2 e # 183kg e # 183s -2
poder, fluxo radiante watt C J / s m 2 e # 183kg e # 183s -3
carga elétrica, quantidade de eletricidade coulomb C - s & # 183A
diferença de potencial elétrico,
força eletromotriz
volt V W / A m 2 e # 183kg & # 183s -3 e # 183A -1
capacitância farad F CV m -2 e # 183kg -1 e # 183s 4 e # 183A 2
resistência elétrica ohm V / A m 2 e # 183kg & # 183s -3 e # 183A -2
condutância elétrica siemens S A / V m -2 e # 183kg -1 e # 183s 3 e # 183A 2
fluxo magnético weber Wb V & # 183s m 2 e # 183kg & # 183s -2 e # 183A -1
densidade do fluxo magnético Tesla T Wb / m 2 kg & # 183s -2 & # 183A -1
indutância Henry H Wb / A m 2 e # 183kg & # 183s -2 e # 183A -2
Temperatura Celsius Graus Celsius & degC - K
fluxo luminoso lúmen lm cd & # 183sr (c) m 2 & # 183m -2 & # 183cd = cd
iluminância Luxo lx lm / m 2 m 2 & # 183m -4 & # 183cd = m -2 & # 183cd
atividade (de um radionuclídeo) becquerel Bq - s -1
dose absorvida, energia específica (transmitida), kerma cinzento Gy J / kg m 2 e # 183s -2
equivalente de dose (d) Sievert Sv J / kg m 2 e # 183s -2
atividade catalítica katal Kat s -1 e # 183mol
(a) O radiano e o esteradiano podem ser usados ​​com vantagem em expressões para unidades derivadas para distinguir entre quantidades de uma natureza diferente, mas da mesma dimensão, alguns exemplos são dados na Tabela 4.
(b) Na prática, os símbolos rad e sr são usados ​​quando apropriado, mas a unidade derivada "1" é geralmente omitida.
(c) Em fotometria, o nome da unidade steradian e o símbolo da unidade sr são geralmente mantidos em expressões para unidades derivadas.
(d) Outras quantidades expressas em sieverts são equivalente de dose ambiente, equivalente de dose direcional, equivalente de dose pessoal e dose equivalente de órgão.

Nota em graus Celsius. A unidade derivada na Tabela 3 com o nome especial grau Celsius e símbolo especial & degC merece um comentário. Por causa da forma como as escalas de temperatura costumavam ser definidas, continua sendo uma prática comum expressar uma temperatura termodinâmica, símbolo T, em termos de sua diferença da temperatura de referência T0 = 273,15 K, o ponto de gelo. Esta diferença de temperatura é chamada de temperatura Celsius, símbolo t, e é definido pela equação da quantidade

A unidade de temperatura Celsius é o grau Celsius, símbolo & degC. O valor numérico de uma temperatura Celsius t expresso em graus Celsius é dado por

Decorre da definição de t que o grau Celsius é igual em magnitude ao Kelvin, o que por sua vez implica que o valor numérico de uma dada diferença de temperatura ou intervalo de temperatura, cujo valor é expresso na unidade de grau Celsius (& degC) é igual ao valor numérico da mesma diferença ou intervalo quando seu valor é expresso na unidade kelvin (K). Assim, as diferenças de temperatura ou intervalos de temperatura podem ser expressos em graus Celsius ou Kelvin usando o mesmo valor numérico. Por exemplo, a diferença de temperatura Celsius t e a diferença de temperatura termodinâmica T entre o ponto de fusão do gálio e o ponto triplo da água pode ser escrito como t = 29,7546 & degC = T = 29,7546 K.

Os nomes e símbolos especiais das 22 unidades derivadas do SI com nomes e símbolos especiais dados na Tabela 3 podem ser incluídos nos nomes e símbolos de outras unidades derivadas do SI, conforme mostrado na Tabela 4.


Unidades e algumas equações - Astronomia

Potência = Corrente x Tensão (P = I V)
1 Watt é a potência de uma corrente de 1 Ampere fluindo por 1 Volt.
1 quilowatt é mil Watts.
1 quilowatt-hora é a energia de um quilowatt fluindo por uma hora. (E = Pt).
1 quilowatt-hora (kWh) = 3,6 x 10 6 J = 3,6 milhões de Joules

1 caloria de calor é a quantidade necessária para elevar 1 grama de água a 1 grau centígrado.
1 caloria (cal) = 4,184 J
(As calorias nas classificações de alimentos são, na verdade, quilocalorias.)

Uma BTU (British Thermal Unit) é a quantidade de calor necessária para elevar um quilo de água em 1 grau Farenheit (F).
1 Unidade Térmica Britânica (BTU) = 1055 J (O Equivalente Mecânico da Relação de Calor)
1 BTU = 252 cal = 1,055 kJ
1 Quad = 10 15 BTU (o uso de energia mundial é de cerca de 300 Quads / ano, os EUA são cerca de 100 Quads / ano em 1996.)
1 term = 100.000 BTU
1.000 kWh = 3,41 milhões de BTU

Conversão de energia

Volume de gás para conversão de energia

Conteúdo energético dos combustíveis

Carvão 25 milhões BTU / ton
Petróleo Bruto 5,6 milhões de BTU / barril
Petróleo 5,78 milhões BTU / barril = 1700 kWh / barril
Gasolina 5,6 milhões de BTU / barril (um barril tem 42 galões) = 1,33 therms / galão
Líquidos de gás natural 4,2 milhões de BTU / barril
Gás natural 1030 BTU / pé cúbico
Madeira 20 milhões BTU / cabo

Poluição de CO2 de combustíveis fósseis

Libras de CO2 por bilhão de BTU de energia:
Carvão 208.000 libras
Óleo 164.000 libras
Gás Natural 117.000 libras

Razões de poluição de CO2:
Petróleo / Gás Natural = 1,40
Carvão / Gás Natural = 1,78

Libras de CO2 por 1.000 kWh, com 100% de eficiência:
Carvão 709 libras
Óleo 559 libras
Gás Natural 399 libras


Conceitos e definições básicas

1.7 Exercícios

Verifique as dimensões e unidades fornecidas na Tabela 1.1.

A constante de gravitação G é definido por

(Responder: MT 2 L −3, kgm −3 s 2, slugft −3 s 2)

Supondo o período de oscilação de um pêndulo simples τ depender da massa do objeto, o comprimento do pêndulo eu, e a aceleração devido à gravidade g, use a teoria da análise dimensional para mostrar que a massa do objeto não é, de fato, relevante. Em seguida, encontre uma expressão adequada para o período de oscilação em termos das outras variáveis.

(Responder: τ = c l ∕ g, onde c é uma constante)

Um disco fino e plano de diâmetro D é girado em torno de um fuso através de seu centro, a uma velocidade de ω radianos por segundo, em um fluido de densidade ρ e viscosidade cinemática ν. Mostre que o poder P necessária para girar o disco pode ser expressa como (a)

Observação: Para (a) resolver em termos do índice de ν e para (b) resolver em termos do índice de ω.

Além disso, mostre que ω D 2 /ν, PD/ ρ ν 3, e P/ ρ ω 3 D 5 são todas quantidades não dimensionais.

Esferas de vários diâmetros D e densidades σ podem cair livremente sob a gravidade através de vários fluidos (representados por suas densidades ρ e viscosidades cinemáticas ν) e suas velocidades terminais V são medidos. Encontre uma expressão racional conectando V com as outras variáveis ​​e, portanto, sugerir um gráfico adequado no qual os resultados possam ser apresentados.

Observação: Haverá cinco índices desconhecidos e, portanto, dois devem permanecer indeterminados, o que dará duas funções desconhecidas no lado direito. Faça com que os índices desconhecidos sejam aqueles de σ e ν.

(Responder: V = D g f σ ρ h D v D g, portanto, traçar curvas de V D g contra D v D g para vários valores de σ/ρ.)

Um avião pesa 60.000 N e tem uma envergadura de 17 m. Um modelo em escala 1/10 é testado, com as abas para baixo, em um túnel de ar comprimido a 15 atmosferas de pressão e 15 ° C em várias velocidades. O levantamento máximo no modelo é medido nas várias velocidades, com os resultados dados:

Estime a velocidade mínima de vôo da aeronave ao nível do mar (ou seja, a velocidade na qual a elevação máxima da aeronave é igual ao seu peso).

A distribuição de pressão ao longo de uma seção de uma asa bidimensional em 4 graus de incidência pode ser aproximada da seguinte forma: Superfície superior: C p constante em –0,8 da borda de ataque para 60% da corda, então aumentando linearmente para + 0,1 no final borda. Superfície inferior: C p constante em –0,4 da borda de ataque para 60% da corda, então aumentando linearmente para + 0,1 na borda de fuga. Estime o coeficiente de sustentação e o coeficiente de momento de inclinação sobre a borda de ataque devido à sustentação.

A pressão estática é medida em vários pontos na superfície de um longo cilindro circular de 150 mm de diâmetro com seu eixo perpendicular a um fluxo de densidade padrão a 30 ms −1. Os pontos de pressão são definidos pelo ângulo θ, que é o ângulo subtendido no centro pelo arco entre o ponto de pressão e o ponto de estagnação frontal. Na tabela a seguir, os valores são fornecidos para p - p 0, onde p é a pressão na superfície do cilindro e p 0 é a pressão não perturbada da corrente livre, para vários ângulos θ, todas as pressões sendo em Nm -2. As leituras são idênticas para as metades superior e inferior do cilindro. Estime o arrasto de pressão da forma por corrida de metro e o coeficiente de arrasto correspondente.

θ
pp0
(graus)
(N m −2)
0102030405060
+569+502+301–57–392–597–721
θ
pp0
(graus)
(N m −2)
708090100110120
–726–707–660–626–588–569

Para valores de θ entre 120 e 180 graus, p - p 0 é constante em –569 Nm −2.

(Responder: C D = 0,875, D = 7,25 Nm −1)

Um planador tem uma asa de 18 m de envergadura e proporção de 16. A fuselagem tem 0,6 m de largura na raiz da asa, e a proporção de conicidade da asa é de 0,3 com pontas de asa de corte quadrado. A uma velocidade real do ar de 115 kmh −1 em uma altitude onde a densidade relativa é 0,7, a sustentação e o arrasto são 3500 N e 145 N, respectivamente. O coeficiente do momento de lançamento da asa sobre o ponto de um quarto da corda é –0,03 com base na área bruta da asa e na corda média aerodinâmica. Calcule os coeficientes de sustentação e arrasto com base na área bruta da asa e o momento de arremesso sobre o ponto de um quarto da corda.

(Responder: C L = 0,396, C D = 0,0169, M = - 3 2 2 Nm, uma vez que c ¯ A ≈ 1. 2 4 5 m)

Descreva qualitativamente os resultados esperados da plotagem de pressão de um aerofólio bidimensional convencional, simétrico e de baixa velocidade. Indique as mudanças esperadas com incidência e discuta os processos de determinação das forças resultantes. São necessários mais testes para determinar as forças gerais de sustentação e arrasto? Inclua na discussão a ordem de magnitude esperada para as várias distribuições e forças descritas.

Mostre que, para sistemas aerodinâmicos geometricamente semelhantes, os coeficientes de força não dimensionais de sustentação e arrasto dependem apenas do número de Reynolds e do número de Mach. Discuta brevemente a importância deste teorema em testes de túnel de vento e teoria de desempenho simples.

“Meio litro & # x27s a libra em todo o mundo” é a velha rima que descreve o peso da água. Dado que meio litro é um oitavo de um galão, que é 231,8 polegadas cúbicas, e a densidade da água doce (não da água do mar) é 1,93 lesmas por pé cúbico, resolva o erro percentual da rima antiga.

Na física do ensino médio, W = mg mostra que 1 lesma pesa 32,174 libras. No entanto, 1 lesma = 1 libra s 2 pés. Da mesma forma, 1 kg pesa 9,8 N. O que 1 kg é igual? Observe a diferença entre “pesa” e “igual” que muitas vezes perdemos de vista durante as tarefas de casa e exames. Observe também que o sistema slug-ft-sec de trabalho é idêntico às unidades mks. É o sistema lbm-ft-sec que é incomum.

O gráfico no topo da página a seguir mostra os dados de empuxo máximo disponível publicamente versus peso máximo de decolagem para uma ampla variedade de jatos executivos bimotores. Os aviões do mercado de “jato muito leve” estão no canto inferior esquerdo e o jato executivo 737 está no canto superior direito. Mostre que a razão de sustentação / arrasto máxima para todas essas aeronaves é de aproximadamente 6, supondo que elas possam decolar com um motor desligado. Você deve assumir que a rolagem de decolagem é horizontal e que a sustentação suficiente é gerada para começar a acelerar verticalmente. Da mesma forma, suponha que a rolagem de decolagem na decolagem tenha uma aceleração desprezível - ou seja, uma velocidade quase constante.

Uma medida importante de desempenho de um avião comercial é “dólares por assento-milha” ou o custo para voar um passageiro por uma milha. Quanto menor for esse número, melhor será o desempenho da aeronave. Esse número não é apenas uma função do formato da asa e do motor, mas depende da carga de carga da aeronave. Se você pode navegar em um pequeno planador de madeira balsa ou espuma de uma altura repetível (escada, varanda, topo de colina, etc.), você pode otimizar os “dólares por assento-milha” para ele. Maximizar dólares por assento-milha para o planador é uma tarefa de minimizar o denominador: assentos vezes milhas, ou o produto de carga útil e distância. Carregue seu planador com cargas úteis variadas e registre a distância que ele percorre (você deve manter um bom equilíbrio, então prenda os pesos no planador & # x27s centro de massa). Qual carga útil fornece a você o produto de faixa de carga útil máxima? O mínimo?


Site de Tobias Westmeier

Nesta página, compilei algumas equações que são regularmente necessárias para a análise estatística de espectros em radioastronomia, em particular para a linha de 21 cm do hidrogênio neutro. Muitas das equações apresentadas nesta página são geralmente válidas apenas para fontes em baixo redshift, e correções especiais dependentes do desvio para o vermelho terão de ser aplicadas para objetos a distâncias cosmológicas!

Não nos responsabilizamos pela exatidão das informações desta página. Informe-nos se encontrar algum erro ou informação imprecisa. As equações nesta página são renderizadas por MathJax, e JavaScript terá que ser habilitado em seu navegador para que sejam exibidas corretamente.

Visão geral

Conversão de fluxo

O conceito de temperatura de brilho é baseado na aproximação de Rayleigh & ndashJeans à lei de Planck & rsquos. A temperatura de brilho, $ T _ < rm B> $, de uma fonte astronômica é definida como a temperatura de um corpo negro que emite a mesma radiância espectral, $ B _ < nu> $, que a fonte, portanto

onde $ nu $ é a frequência da emissão e utilizamos a relação entre o comprimento de onda e a frequência da radiação eletromagnética, $ nu lambda = mathrm$. A densidade de fluxo de uma fonte é simplesmente definida como a integral da radiância espectral sobre o ângulo sólido da fonte no céu, levando à relação entre a temperatura de brilho e a densidade de fluxo, $ S _ < nu> $, de

No caso simples em que uma fonte de temperatura de brilho constante preenche todo o tamanho do feixe de telescópio, obtemos a seguinte relação entre temperatura de brilho e densidade de fluxo:

onde $ Omega _ < rm bm> $ é o ângulo sólido do feixe do telescópio. Assumindo um feixe gaussiano de ângulo sólido $ Omega_ < rm bm> = pi vartheta_ vartheta_ , / , [4 ln (2)] $, a equação pode ser simplificada para

mathrm$ (Linha H & thinspi), podemos simplificar ainda mais a equação para

onde $ vartheta $ é novamente dado em segundos de arco. No caso de observações H & thinspi, o fluxo integrado ao longo de uma linha espectral pode ser convertido diretamente na densidade da coluna H & thinspi correspondente $ N _ < rm H , I> $ sob a suposição de que o gás é opticamente fino $ ( tau ll 1 ) $:

Sob as suposições usuais (gás opticamente fino, redshift zero, etc.), podemos calcular a massa H & thinspi de uma galáxia ou nuvem de gás a partir do fluxo H & thinspi integrado, usando

onde $ S _ < rm int> $ é o fluxo integrado e $ d $ é a distância da fonte. Se $ S _ < rm int> $ é dado em $ mathrm^ <-1> $ e $ d $ em $ mathrm$, como costuma ser o caso para dados extragaláticos, a constante numérica torna-se $ 236 $.

Linhas de absorção H & thinspi

Para a linha de emissão de 21 cm de hidrogênio atômico neutro, a equação de transferência radiativa pode ser escrita da seguinte forma:

onde $ T _ < rm B> ( nu) $ é o perfil de temperatura de brilho observado da linha H & thinspi, $ T _ < rm S> $ é a temperatura de rotação do gás, $ T _ < rm C> $ é o temperatura de brilho de qualquer emissão contínua de fundo, e $ tau ( nu) $ é a profundidade óptica do gás em função da frequência, $ nu $. Se assumirmos que a profundidade óptica do gás é pequena, ou seja, $ tau ( nu) ll 1 $, a equação pode ser simplificada para

Se definirmos agora a temperatura de brilho da linha espectral como a diferença entre o nível contínuo e a temperatura de brilho observada, $ T _ < rm L> ( nu) equiv T_ < rm C> - T _ < rm B> ( nu) $, podemos reescrever a equação acima como

Por outro lado, a relação entre a densidade da coluna observada, $ N _ < rm H , I> $, e a profundidade óptica é expressa por

onde $ C $ é uma constante. Ao inserir Eq. & Thinsp $ eqref$ na Eq. & thinsp $ eqref$ e assumindo que a fonte contínua de fundo é muito clara $ (T_ < rm S> ll T _ < rm C>) $ obtemos a seguinte expressão para a densidade da coluna:

A partir disso, podemos estimar diretamente a força relativa da linha de absorção de H & thinspi, $ T_ < rm L> / T _ < rm C> $, para uma densidade de coluna particular e temperatura de rotação do gás. A constante, $ C $, é a mesma da Eq. & Thinsp $ eqref$ se integrarmos sobre velocidade em vez de frequência.

Conversão de velocidade e frequência

A equação relativística especial para a conversão da frequência observada, $ f $, de uma fonte em velocidade radial, $ v $, sob a suposição de que o objeto está se movendo para perto ou para longe do observador lê

onde $ mathrm$ denota a velocidade da luz e $ f_ <0> $ é a frequência de repouso da transição de linha observada. Esta equação assume que o desvio para o vermelho observado de uma fonte é devido à sua velocidade relativística ao longo da linha de visão em direção ou para longe do observador (efeito Doppler relativístico). Observe que o efeito Doppler relativístico depende do componente de velocidade transversal do objeto também, e Eq. & Thinsp $ eqref$, portanto, só será válido para movimento puro na linha de visão.

Also note that the observed redshift of distant sources is largely due to the &ldquocosmological expansion&rdquo of space, not due to their velocity with respect to the observer. Hence, the above relation will not yield sensible results for sources at higher redshift, and frequency (or redshift) rather than velocity should be used to characterise sources beyond redshift zero.

There are two commonly used approximations to this equation which are accurate for small velocities of up to a few hundred km/s. The so-called &ldquooptical definition&rdquo reads

egin box[#F0F0F0, 10px, border:1px solid black]>> = frac> - 1 = z> end

and the so-called &ldquoradio definition&rdquo is

The advantage of the &ldquoradio definition&rdquo is that equal increments in frequency correspond to equal increments in radial velocity. However, the &ldquoradio definition&rdquo is deprecated by the International Astronomical Union (IAU) and should not be used any more, as the resulting velocity values are arbitrary and not physically motivated.

The &ldquooptical definition&rdquo, $v = mathrmz$, is also referred to as the recessional velocity and used as a convenient proxy for redshift when characterising distant objects, e.g. in redshift surveys. Despite having the dimension of a velocity, it must not be mistaken for a true velocity. Instead, it is simply the redshift of a source multiplied by a constant (in this case the speed of light) and entirely unrelated to the source&rsquos peculiar velocity (with the exception of the nearest objects within the Local Group).

Rest frames

The observed radial velocity of an astronomical object is subject to several projection effects such as the rotation and the orbital motion of the Earth, the motion of the Sun around the Galactic centre, the motion of our Galaxy within the Local Group, etc. To be able to interpret the observed radial velocity one must convert it into an appropriate rest frame.

A useful rest frame for objects in the solar neighbourhood is the so-called barycentric standard-of-rest (BSR) frame which uses the barycentre of the Solar System as reference point. Normally, the spectra observed with a radio telescope are already provided in the BSR frame. The BSR frame is often referred to as the heliocentric standard-of-rest (HSR) frame. The latter one, however, uses the barycentre of the Sun as reference point instead of the Solar System barycentre. The difference between barycentric and heliocentric velocities, however, is rather small and negligible in most cases.

For objects located in the Galaxy at larger distances from the Sun one usually uses the local standard-of-rest (LSR) frame as the reference for radial velocities. The LSR frame accounts for the peculiar motion of the Sun of about 16.55 km/s with respect to the regular rotation of the Galaxy. Radial velocities in the LSR frame can be calculated from barycentric velocities via

egin v_ < m LSR>= v_ < m BSR>+ 9 cos(l) cos(b) + 12 sin(l) cos(b) + 7 sin(b) end

where $l$ and $b$ are the Galactic longitude and latitude. This definition is the so-called &ldquodynamical defintion&rdquo (also referred to as the LSRD) as specified by the IAU. There is an alternative &ldquokinematical definition&rdquo (referred to as LSRK) which results in a slightly higher velocity of about 20 km/s in the direction of $(alpha, delta) = (270^,30^)$ in the B1900 system. However, the LSRD definition is the one most commonly used and usually referred to as the LSR.

For the description of circumgalactic objects it is useful to correct also for the rotation of our Milky Way of 220 km/s. The corresponding reference frame, the so-called Galactic standard-of-rest (GSR) frame, is derived from the LSR frame via

For objects spread across the Local Group a reference frame accounting for the motion of our Milky Way of about 80 km/s with respect to the Local Group barycentre would be ideal. The corresponding radial velocities in the so-called Local Group standard-of-rest (LGSR) frame can be calculated from the GSR velocities via

egin v_ < m LGSR>= v_ < m GSR>- 62 cos(l) cos(b) + 40 sin(l) cos(b) - 35 sin(b) end

In principal, one can correct the radial velocity for rest frames of even higher order in the hierarchy of the universe. The reference frames mentioned above, however, are the ones most frequently used.

Moment analysis

Standard spectral moments

Let&rsquos assume that the spectrum is given in terms of intensity $A(v)$ (e.g. brightness temperature $T_< m B>$) as a function of radial velocity $v$ with a bin width of $Delta v$. The zeroth moment of the spectrum is simply the integrated flux over the spectral line:

egin M_ <0>= Delta v sum A(v) end

The first moment defines the intensity-weighted velocity of the spectral line. It can be taken as a measure for the mean velocity of the gas. The first moment is defined by

The second moment is a measure for the velocity dispersion, $sigma$, of the gas along the line of sight, i.e. the width of the spectral line. It is defined by the intensity-weighted square of the velocity:

Skewness and kurtosis

In addition to these spectral moments it is also occasionally useful to calculate higher-order moments of imaging data in order to determine the skewness and kurtosis of the distribution of flux density values. The skewness can be defined as

while the kurtosis can likewise be written as

The higher-order moments, $mathfrak_$, required for their calculation are defined as

egin mathfrak_ = frac<1> sum limits_^ (y_ - ar)^ end

where $N$ is the number of data samples, $y_$ are the flux density values, and $ar = sum y_ , / , N$ is the mean flux density. Skewness is a measure for the level of asymmetry in the flux density distribution, while kurtosis can be used as a measure of how dominant the wings or tails of the distribution are. For pure Gaussian noise, i.e. for normally distributed values of $y_$, we expect to measure $S = 0$ and $K = 3$.

Temperature from H&thinspi lines

From the intensity and width of H&thinspi lines one can usually obtain a lower and upper limit of the kinetic temperature of the gas. The lower limit is given by the brightness temperature of the line. Due to its long life time, the 21-cm transition is usually collisionally excited, and the spin temperature of the gas is equal to the kinetic temperature. From the equation of radiative transfer we therefore get the following relation between brightness temperature, $T_< m B>$, and spin temperature, $T_< m S>$:

An upper limit of the kinetic temperature can be derived from the line width. This is possible because the intrinsic line width of the H&thinspi line is very small due to the long life time of the transition. Hence, the observed line width is dominated by Doppler broadening due to effects such as the kinetic temperature of the gas, internal turbulence or rotation of the gas, or multiple clouds along the line of sight. From the Maxwell distribution we therefore get:

Here, $m_ < m H>approx 1.674 imes 10^

mathrm$ is the mass of a hydrogen atom, and $Delta v$ is the FWHM of the H&thinspi line.


Basic and Derived Units

"The creation of the decimal Metric System at the time of the French Revolution and the subsequent deposition of two platinum standards representing the meter and the kilogram, on 22 June 1799, in the Archives de la République in Paris can be seen as the first step in the development of the present International System of Units.. read on.

Definitions:

UMA quantity no general sense is a property ascribed to phenomena, bodies, or substances that can be quantified for, or assigned to, a particular phenomenon, body, or substance. Examples are mass and electric charge.

UMA quantity no particular sense is a quantifiable or assignable property ascribed to a particular phenomenon, body, or substance. Examples are the mass of the moon and the electric charge of the proton.

UMA physical quantity is a quantity that can be used in the mathematical equations of science and technology.

UMA unit is a particular physical quantity, defined and adopted by convention, with which other particular quantities of the same kind are compared to express their value.

All physical quantities can be expressed in terms of seven base units.

Base Quantity Nome Símbolo
length Historical Context meter m
mass Historical Context kilogram kg
Tempo Historical Context second s
electric current Historical Context ampere UMA
thermodynamic temperature Historical Context kelvin K
amount of substance Historical Context mole mol
luminous intensity Historical Context candela cd

Derived Units

Other quantities, called derived quantities, are defined in terms of the seven base quantities via a system of quantity equations. The SI derived units for these derived quantities are obtained from these equations and the seven SI base units. Examples of such SI derived units are given in Table 2, where it should be noted that the symbol 1 for quantities of dimension 1 such as mass fraction is generally omitted.


Powers of 10

A convenient way to express large and small numbers is to use exponents or powers of 10, which are multiples of 10.

Large numbers

You can designate a large number such as 1,000,000 as an exponent or power of 10 by counting the number of zeros and writing the number as 10 6 ou 1*10 6 .

If the number was 300,000,000, you would write it as 3*10 8 .

If the number was 2,524,200, you would round it off and use the scientific notation of a number less than 10, with two decimal places, such as the approximate value of 2.52*10 6 ..

Other equivalent notations for a number such as 3*10 8 estão 3*10^8 e 3E8.

Small numbers

Following the same method for a small number 1/100,000 = 1/10 5 , since 100,000 tem 5 zeros. That can be written as 10 &minus5 . Note that the decimal version of 1/100,000 é 0.00001, which only has 4 zeros after the decimal point. It is something to be aware of. Some other examples are:

3/10,000,000 = 0.0000003 = 3*10 &minus7

0.00252 = 2.52*10 &minus4

0.000000004026 rounds off to 4.03*10 &minus9


WRITING NUMBERS, UNITS OF MEASURE, AND EQUATIONS

Because numbers are used so frequently in technical writing, the rules for writing them are designed for clarity and consistency. Some rules are hard and fast, and others will vary depending upon the style manual consulted. We will focus on a few rules that will help you write in EG.

Números

  1. All numbers below 10 (including zero) should be written out in words, with the following exceptions: age, time, dates, page numbers, percentages, money, proportions and units of measure. Numbers greater than nine are written in numerals.

Rule examples:

  • one robot
  • two containers
  • three team members
  • eight workstations
  • zero chance

Exceptions:

Units of Measure

  1. When writing units of measure, be consistent. If you are measuring temperature as degrees Fahrenheit, do not suddenly switch to degrees Celsius.
  2. Units of measure can be written as symbols, words, or abbreviations. For basic units of measurement, use words: 25 pounds, 12 inches. For derived units of measure — ones formed using a calculation — use symbols: 38mph, 27ft/s 2 . Some derived units of measure have two symbols: one that represents the derivation and one that represents the word. In this case, use the one that represents the word because it will be more familiar to your reader. Usar F for Farad, Hz for Hertz, and V for Volt.
  3. To indicate multiplication, use a raised dot ( ∙ ). To indicate division, use a slash (/). If you are writing out the unit in words, use a hyphen for multiplication, and the word per for division: The force was 22 kilogram-meters squared, The speed was 50 miles per hour.
  4. If you want to add a secondary unit of measure after your primary one, put it in parentheses following the primary unit of measure: 10°C (50°F).

Equations

  1. Do not use too many equations it is easy to make a mistake and they are cumbersome in the text. If your readers are not technical, try not to use them at all.
  2. Put your equations on a separate line, center them, and number them:

This is by no means a comprehensive list of the rules for writing numbers, symbols and equations. For a complete list consult an appropriate style guide.


2. Symbols and equations

(a) Prefer single-letter variables (if necessary with subscripts, e.g. ERMS) over multi-letter ones (e.g. RMSE). Single-letter variables or parametres and user-defined function symbols should be Italic (e.g. x, Y, &beta, f(x)). Multi-letter variables, if cannot be avoided, should not be Italic.

(b) Common, explicitly defined, functions should not be Italic, whether their symbols are single-letter (e.g. &Gamma(x) for the gamma function, &Beta(y, z) for the beta function) or multi-letter (e.g. ln x, exp(x + y)).

(c) Textual subscripts or superscripts should not be Italic (e.g. xmax, Tmin where &lsquomax&rsquo and &lsquomin&rsquo stand for maximum and minimum, respectively).

(d) Mathematical constants should not be Italic (e.g. e = 2.718&hellip, &pi = 3.141&hellip, i 2 = &minus1). Also, mathematical operators should not be Italic (e.g. dx in integrals and derivatives, &Delta&gamma for the difference operator on &gamma).

(e) Vectors, matrices and vector functions should be bold and Italic (for single-letter variables). In particular, vectors are usually denoted with lower case letters (e.g. x, &omega as vectors f(x) as a vector function of a vector variable) and matrices with upper case letters (e.g. UMA as matrix AB as the product of matrices UMA e B, UMA T as the transpose of UMA, det UMA as the determinant of a square matrix UMA).

(f) To distinguish between random variables and their realizations, either use upper case symbols for the former and lower case for the latter (e.g. P<X &le x>), or underline the random variables (e.g. P< x &le x>, the so-called Dutch convention).

(g) Do not use the hyphen (-) as a minus or subtraction sign use the en-dash (&ndash) instead. Also do not use the letter &lsquox&rsquo or the symbol &lsquo*&rsquo as a multiplication sign either use the symbol &lsquo×&rsquo or middle dot (&sdot) between numerals, or use a thin space (or even no space) between variables.

(h) For simple expressions in the body of the text, use solidus (/) to denote division, e.g. (x + y)/2&eta, rather than a fraction with a horizontal division line.

(i) Write complex exponential functions in the form: exp(. ), e.g. exp((uma + de 2 ) 1/2 ) rather than as a power of e. Note that nested parentheses are permitted (even recommended) for grouping.*

* Prepared by D. Koutsoyiannis (Hydrological Sciences Journal) and H.H.G. Savenije (Hydrology and Earth System Sciences), 2013 also discussed by G. Blöschl (Chairman of the 2013 Ad Hoc Meeting of Editors of Hydrological Journals), A. Bardossy (Journal of Hydrology), Z.W. Kundzewicz (Hydrological Sciences Journal), I.G. Littlewood (Hydrology Research), A. Montanari (Water Resources Research) and D. Walling (Hydrological Processes) Please report any suggestions you may have to [email protected] For more information see: (i) SI brochure (8th edition http://www.bipm.org/en/si/si_brochure/) (ii) ISO 80000-2 Standard (Mathematical Signs and Symbols to Be Used in the Natural Sciences and Technology not in open access) (iii) Unicode Technical Report #25 (Unicode Support for Mathematics http://www.unicode.org/reports/tr25).

&dagger Some journals accept &lsquoa&rsquo as a symbol for year, but &lsquoa&rsquo is also the symbol of an &lsquoare&rsquo which is a unit for area not recommended per se but commonly used in its multiple hectare=1 (1 a = 100 m 2 1 ha = 100 a = 10 4 m 2 = 1 hm 2 ).


Assista o vídeo: Conversões de unidades aula 1: Conheça as Equações (Outubro 2021).