Como derivar a 1ª Lei de Kepler?

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Eu estava examinando a derivação da 1ª Lei de Kepler no livro "Uma Introdução à Astrofísica Moderna", de Carroll e Ostlie. A partir daí, fiquei preso em alguns lugares em sua derivação, pois achei isso confuso. No total, tenho 2 perguntas.

Q1: Na segunda frase que destaquei, é mencionado que quando a equação 29 é traduzida em um ponto de vista físico, isso implica que "ambos os objetos em uma órbita binária se movem em torno do centro de massa em elipses, com o centro de massa ocupando um foco de cada elipse" no entanto, não vejo como as implicações físicas da equação 29 se traduzirão no que eles afirmam. Esta equação descreve claramente apenas o vetor de posição da massa reduzida, então como pode ser extrapolado para falar sobre o movimento de um sistema binário quando há 2 massas em vez de 1 massa reduzida. (Esclarecimento: estou ciente de que a massa reduzida é uma forma de modelar sistemas binários, mas, neste caso, não vejo a ligação entre o movimento da massa reduzida e o movimento de 2 corpos)

P2: Na última linha, é mencionado que "L está no mínimo conforme a excentricidade se aproxima da unidade, como esperado". No entanto, não vejo o raciocínio qualitativo sobre por que isso seria "esperado". Existe uma explicação física ou física de por que esperamos que uma órbita com grande excentricidade tenha um momento angular menor do que outra com baixa excentricidade?

Devo dizer que concordo com você, esta forma de derivar a lei de Kepler não é a mais intuitiva, talvez seja por isso que especificam: "revisitado".

R1: O motivo é declarado no início do capítulo, onde você deriva a relação entre $ r $ e o ângulo para o periélio $ theta $ para o caso geral de uma elipse (Eq 3 em seu livro no Cap 2.1 Orbita elíptica, mas posso ver que tenho uma versão mais antiga que a sua), onde:

$$ r = frac {a (1-e ^ 2)} {1 + e , cos ( theta)} $$

aqui, a excentricidade de uma elipse é então definida como: $$ e = sqrt {1- frac {b ^ 2} {a ^ 2}} $$

no caso da lei de Kepler, você pode definir a excentricidade como $ e = D / mu G M $ e $ a $ como: $$ a = frac {L ^ 2 G , M} { mu ^ 2 , G ^ 2 , M ^ 2 - D ^ 2} $$

e você pode trabalhar na equação (29), obtendo a equação da mesma forma que para uma órbita elíptica.

A razão para derivar $ r $ é porque indica a distância do objeto do ponto focal (centro de massa do sistema), que no caso do sistema solar, é a distância do planeta ao Sol (na verdade o ponto focal do sistema solar, ou melhor, do sistema Sol-Júpiter, está alguns quilômetros acima da superfície solar).

R2: a excentricidade $ e $ quantificar a forma de um cone de seção transversal Excentricidade (matemática) Wikipedia.

Por exemplo, no caso de uma elipse, você tem $ 0 , e indica o quanto a elipse está "comprimida". Outro exemplo, se você tiver $ e = 0 $ do que você tem um círculo.

No caso de $ e = 1 $ você tem uma parábola, da equação de $ e $ acima significa que $ a gg b $. Em um sentido mais físico, significa que o sistema não está em um estado gravitacionalmente limitado, e o objeto menos massivo $ m_1 ll m_2 $ está em uma trajetória parabólica, desviada pela atração gravitacional de $ m_2 $, e não permanecerá em órbita.

Com muita pesquisa e reflexão, consegui responder à minha própria pergunta, mas vou compartilhar a resposta, visto que ninguém respondeu de maneira significativa.

Q1: o vetor posição $ vec {r} $ da massa reduzida é também a distância relativa entre as 2 massas, portanto, se a massa reduzida está sofrendo movimento elíptico em torno de seu centro de massa, é equivalente a tomar o referencial de um dos objetos no sistema binário e medir o vetor de posição do outro objeto desde $ vec {r} $ é a distância relativa. Portanto, o que a 1ª Lei de Kepler está realmente dizendo é que em um sistema binário, os objetos sofrerão movimento elíptico em relação ao outro objeto.

Q2: Como a excentricidade tende para 1, observe que a partir da fórmula $ e = sqrt {1- frac {b ^ 2} {a ^ 2}} $ que se e tendesse para 1, $ frac {b ^ 2} {a ^ 2} $ deve tender para 0, e isso faria com que a elipse se aproximasse do formato de uma linha (mas é importante notar que $ e = 1 $ resultaria em uma parábola, não em uma linha reta). Em uma linha, uma vez que os vetores velocidade e posição são paralelos, L seria, portanto, 0 (uma vez que $ L = m vec {r} times vec {v} $ e se eles forem paralelos, o produto vetorial seria 0)

Como derivar a 1ª Lei de Kepler? - Astronomia

(adaptado de Fowles Analytical Mechanics, 3 rd Ed. , 1977)

Em coordenadas polares, a Segunda Lei de Newton para um objeto de massa m é

Para uma força central, o segundo termo é zero. (Por definição, uma força central depende apenas da distância da origem e é independente da posição angular.) Chamando a função de força central f (r), podemos dividir o acima em duas equações:

Em princípio, dada a função de força, pode-se então resolver as equações diferenciais para encontrar r e q como funções do tempo. Visto que queremos encontrar a forma da órbita, precisamos encontrar r como uma função de q. Para fazer isso, vamos mudar as variáveis, deixando r = 1 / u.

A segunda equação implica que é uma constante, o que significa que o momento angular é constante. Para ver isso,

Portanto, a derivada de tempo de é zero, o que significa que é constante. Se chamarmos L de momento angular, podemos definir a constante h como

Para alterar as variáveis, precisamos encontrar expressões para todas as variáveis na equação 1.

Da constante h acima, temos

Precisamos diferenciar a equação i duas vezes para encontrar uma expressão para, então

Diferenciar uma segunda vez dá

Fazendo várias etapas consecutivas:

Substituindo a equação ii, obtemos

Substituindo essas três equações na equação 1, obtemos

Finalmente temos nossa equação diferencial genérica para a órbita:

A Equação 3 é a equação diferencial geral da órbita para qualquer força central. Se a força central é a Lei da Gravitação de Newton, então temos o seguinte para f (r) e, portanto, f (1 / u):

Observe que o sinal de menos é porque o vetor radial da unidade aponta para longe do centro e a força gravitacional puxa o planeta para o centro. Observe também que M representa a massa do sol, e m a massa do planeta.

Substituindo isso em nossa equação da órbita (3), obtemos

Esta é uma equação diferencial relativamente simples com o seguinte como solução

(Para ver que esta é a solução, aplique-a à equação 3.) O termo A é uma constante da integração e depende das condições orbitais do planeta. O termo é uma constante da integração e é simplesmente a orientação inicial da órbita. Para manter as coisas simples, vamos chamá-lo de 0. Alterar nossas unidades de volta ao original nos dá o seguinte como a equação da órbita de qualquer corpo sob a influência da gravidade:

Esta é a equação para uma seção cônica em coordenadas polares! Podemos reescrever na forma mais padrão

A é então o inverso da distância entre o foco e a diretriz. Colocando a equação em termos da distância mais próxima entre o sol e o planeta (a distância do periélio) r₀ nos dá o seguinte:

Para uma força central inversa ao quadrado, a órbita resultante será uma seção cônica, a órbita real dependerá da excentricidade da seguinte forma:

Tutoriais de matemática e mais por George

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Você pode ter que rolar horizontalmente para ver algumas das longas equações. Você também pode tentar alternar para o modo paisagem.

Neste apêndice, derivaremos as leis de Kepler das leis do movimento de Newton e sua lei da gravitação universal. Abaixo estão as três leis que foram derivadas empiricamente por Kepler.

Primeira Lei de Kepler: Um planeta se move em um plano ao longo de uma órbita elíptica com o sol em um foco.
Segunda Lei de Kepler: O vetor posição do sol para um planeta varre uma área a uma taxa constante.
Terceira Lei de Kepler: O quadrado do período de um planeta em torno do sol é proporcional ao cubo da distância média entre o planeta e o sol.

Preliminares matemáticos

Aqui, os pontos representam a diferenciação em relação ao tempo e $ boldsymbol$, $ boldsymbol$, $ boldsymbol$ são os vetores unitários nas direções $ x $, $ y $, $ z $ respectivamente.

Leis do Movimento e Gravitação de Newton

Deixe $ hat < boldsymbol> $ seja um vetor de unidade em $ boldsymboldireção $. Então a lei da gravitação de Newton aplicada a um planeta e o sol é dada por begin boldsymbol& = - frac, hat < boldsymbol> nonumber & = - frac, boldsymbol ótulo fim onde $ G $ é uma constante, $ M $ é a massa do sol, $ m $ é a massa do planeta e $ r $ é a magnitude de $ boldsymbol$. Vamos negligenciar as forças gravitacionais causadas pelos outros planetas. Combinando equações eqref e eqref, nós começamos boldsymbol = ddot < boldsymbol> = - frac, boldsymbol. ótulo fim

Planeta se move em um avião

Pela regra do produto para diferenciação começar frac
, ( boldsymbol times boldsymbol) = boldsymbol times boldsymbol+ boldsymbol times boldsymbol = 0 end

já que $ boldsymbol $ está na mesma direção que $ boldsymbol$ por equação eqref. Aqui, o símbolo $ times $ representa o produto vetorial vetorial. Assim, o vetor begin boldsymbol= boldsymbol times boldsymbol fim é uma constante em relação ao tempo. Segue-se que $ boldsymbol$ e $ boldsymbol$ encontra-se no plano ortogonal a $ boldsymbol$, ou seja, o planeta se move em um plano.

Segunda Lei de Kepler

Vamos escolher o nosso sistema de coordenadas para que $ boldsymbol$ está na direção $ boldsymbol$. Assim, begin boldsymbol= boldsymbol times boldsymbol= h boldsymbol, quad h gt 0. label fim

A Figura 1 mostra a área varrida pelo vetor posição em um pequeno incremento de tempo $ Delta t $. $ Delta theta $ é a pequena mudança de ângulo.

Figura 1: Área varrida durante pequeno incremento de tempo

A área OAB é aproximadamente igual à área do triângulo retângulo OAC para o pequeno $ Delta theta $. Como o comprimento da linha AC é de aproximadamente $ r Delta theta $ e o comprimento da linha OC é de aproximadamente $ r $, temos begin Delta A doteq tfrac <1> <2> , r ^ 2 Delta theta. fim

Dividindo ambos os lados por $ Delta t $ e deixando $ Delta t $ se aproximar de zero, vemos que begin dot = tfrac <1> <2> , r ^ 2 dot < theta>. ótulo fim

Uma vez que o planeta se move no plano $ xy $, temos begin boldsymbol& = x boldsymbol+ y boldsymbol nonumber & = (r cos theta) boldsymbol+ (r sin theta) boldsymbol ótulo fim

onde as coordenadas polares $ r $ e $ theta $ são funções de $ t $. A derivada de tempo de $ boldsymbol$ é dado por begin boldsymbol= ponto < boldsymbol> = ( ponto cos theta-r sin theta ponto < theta>) boldsymbol+ ( ponto sin theta + r cos theta ponto < theta>) boldsymbol. ótulo fim

Substituindo equações eqref e eqref na equação eqref, nós obtemos begin h = r cos theta ( ponto sin theta + r cos theta , ponto < theta>) - r sin theta ( ponto cos theta-r sin theta , ponto < theta>). fim Expandindo, isso pode ser simplificado para começar h = r ^ 2 dot < theta>. ótulo fim

Aqui usamos o fato de que $ boldsymbol times boldsymbol= boldsymbol$ e $ boldsymbol times boldsymbol= - boldsymbol$ bem como a identidade trigonométrica $ sin ^ 2 theta + cos ^ 2 theta = 1 $. Segue-se das equações eqref e eqref que começa dot = tfrac <1> <2> , r ^ 2 dot < theta> = h / 2 = text. ótulo fim

Esta é a segunda lei de Kepler.

Definição e propriedades de uma elipse

Antes de examinarmos a derivação da primeira lei de Kepler, precisamos definir o que entendemos por elipse e examinar algumas de suas propriedades. Uma maneira comum de desenhar uma elipse é prender as duas pontas de um barbante, colocar um lápis no laço e traçar uma curva enquanto mantém o barbante ensinado. Claramente, a curva resultante tem a propriedade de que a soma das distâncias de qualquer ponto da curva aos dois pontos fixos é uma constante (o comprimento da corda). A curva resultante é chamada de elipse e os dois pontos fixos são chamados de focos da elipse. A Figura 2 mostra uma elipse na qual os focos estão em $ (- c, 0) $ e $ (c, 0) $. Quando $ (x, y) $ coincide com $ (a, 0) $, temos $ d_1 = a + c $ e $ d_2 = a-c $. Assim, o comprimento da string é $ d_1 + d_2 = (a + c) + (a-c) = 2a $.

Figura 2: Desenho de uma elipse

A construção da elipse pode ser representada matematicamente como segue begin sqrt <(x + c) ^ 2 + y ^ 2> + sqrt <(x-c) ^ 2 + y ^ 2> = 2a rótulo fim

Esta equação pode ser reorganizada da seguinte forma begin sqrt <(x + c) ^ 2 + y ^ 2> = 2a- sqrt <(x-c) ^ 2 + y ^ 2>. fim

Quadrando ambos os lados, nós começamos (x + c) ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2-4a sqrt <(x-c) ^ 2 + y ^ 2> + (x-c) ^ 2 + y ^ 2. fim

Resolvendo o termo raiz quadrada, obtemos begin sqrt <(xc) ^ 2 + y ^ 2> & = frac <1> <4a> , [4a ^ 2 + (xc) ^ 2- (x + c) ^ 2] nonumber & = a- frac, x. fim

Quadrado novamente, obtemos começar x ^ 2-2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2-2cx + frac, x ^ 2 end

Dividindo por $ a ^ 2-c ^ 2 $, obtemos begin frac+ frac= 1. ótulo fim

Definimos a excentricidade $ e $ da elipse por $ e = c / a $. A excentricidade é uma medida do alongamento da elipse. A excentricidade da órbita da Terra é pequena (0,0167). Portanto, sua órbita é quase circular. Vênus tem uma excentricidade ainda menor (0,007) e Marte tem uma excentricidade maior (0,0934). O planeta com a maior excentricidade é Mercúrio (0,2056). Vamos definir $ b $ por begin b & = a sqrt < vphantom <(> 1-e ^ 2> nonumber & = sqrt < vphantom <(> a ^ 2-c ^ 2>. label fim

Então, equação eqref pode ser escrito na forma padrão começar frac+ frac= 1. ótulo fim

Esta é a forma geralmente especificada para uma elipse. É fácil ver que $ a $ tem metade do comprimento do eixo maior da elipse e $ b $ tem metade do comprimento do eixo menor da elipse.

Uma elipse também tem uma forma simples em coordenadas polares se considerarmos que nossa origem é um dos focos. Essa situação é ilustrada na Figura 3.

Figura 3: uma elipse em coordenadas polares

Usando a definição de uma elipse em termos da soma das distâncias dos dois focos sendo constantes, podemos escrever begin r + sqrt <(r cos theta + 2c) ^ 2 + r ^ 2 sin ^ 2 theta> = 2a. ótulo fim

Resolvendo o termo da raiz quadrada e expandindo os termos quadrados, obtemos begin sqrt < vphantom <(> r ^ 2 + 4rc cos theta + 4c ^ 2> = 2a-r. end

Quadrar esta equação dá begin r ^ 2 + 4rc cos theta + 4c ^ 2 = 4a ^ 2-4ar + r ^ 2 end

ou equivalentemente começar (a + c cos theta) r = a ^ 2-c ^ 2. fim

Equação eqref é a representação desejada da elipse em coordenadas polares.

Também podemos derivar nossa definição original de elipse da forma polar. Suponha que $ r $ e $ theta $ satisfaça begin r = frac<1 + e cos theta> rótulo fim

onde $ k gt 0 $ e lt e lt 1 $.

Segue-se da equação eqref que $ r $ tem um valor máximo de $ frac<1-e> $ em $ theta = pi $. Assim, usando a equação eqref nós vemos que começa r leq frac<1-e> = a (1 + e) lt 2a. fim

Usando equação eqref, equação eqref pode ser reorganizado da seguinte forma begin (1 + e cos theta) r = k = a (1-e ^ 2). fim

Multiplicando ambos os lados por $ a $, obtemos begin (a + c cos theta) r = a ^ 2-c ^ 2. fim

Multiplicando esta equação por quatro e adicionando $ r ^ 2 = ( sin ^ 2 theta + cos ^ 2 theta) r ^ 2 $ para ambos os lados, obtemos begin ( cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) r ^ 2 + 4ar + 4cr cos theta = 4a ^ 2-4c ^ 2 + r ^ 2. fim

Esta equação pode ser reorganizada assim que begin r ^ 2 cos ^ 2 theta + 4cr cos theta + 4c ^ 2 + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2-4ar + 4a ^ 2 end

ou equivalentemente começar (r cos theta + 2c) ^ 2 + r ^ 2 sin ^ 2 theta = (2a-r) ^ 2. fim

Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos begin r + sqrt <(r cos theta + 2c) ^ 2 + r ^ 2 sin ^ 2 theta> = 2a end

que é a equação que define a elipse ilustrada na Figura 3 [ver equação eqref] Assim, equação eqref define uma elipse com a origem em um foco. Seja $ b = a sqrt < vphantom <(> 1-e ^ 2> $. Então segue da equação eqref que começa b = frac< sqrt < vphantom1-e ^ 2 >>. ótulo fim

Teorema de Hamilton

Nesta seção, mostraremos que o vetor velocidade $ boldsymbol$ move-se em um círculo. Já que $ r = | boldsymbol| $, segue da equação eqref aquela equação eqref pode ser escrito começar dot < boldsymbol> & = boldsymbol nonumber & = - frac, ( cos theta , boldsymbol+ sin theta , boldsymbol) ótulo fim

Combinando equações eqref e eqref, nós obtemos begin dot < boldsymbol> = - frac, ponto < theta> , ( cos theta , boldsymbol+ sin theta , boldsymbol). ótulo fim

Segue-se das equações eqref e eqref que começa frac<>>= - frac, ( cos theta , boldsymbol+ sin theta , boldsymbol) fim

Integrando esta equação, obtemos begin boldsymbol= frac, (- sin theta , boldsymbol+ cos theta , boldsymbol) + boldsymbol_0 rótulo fim

onde $ boldsymbol_0 $ é uma constante. Segue-se que $ | boldsymbol- boldsymbol_0 | = GM / h $, ou seja, $ boldsymbol$ move-se no círculo centrado em $ boldsymbol_0 $ com raio $ GM / h $.

Primeira lei de kepler

Nós escolhemos nosso sistema de coordenadas para que $ boldsymbol$ está na direção $ boldsymbol_0 $, ou seja, begin boldsymbol_0 = v_0 boldsymbol quad text. ótulo fim

Assim, equação eqref torna-se começo boldsymbol= frac, [- sin theta , boldsymbol+ ( cos theta + e) , boldsymbol] ótulo fim

onde $ e = v_0h / GM $. Substituindo equação eqref na equação eqref e usando a equação eqref, nós começamos h boldsymbol& = boldsymbol times boldsymbol & = frac, [ sin ^ 2 theta + ( cos ^ 2 theta + e cos theta)] , boldsymbol & = frac, (1 + e cos theta) , boldsymbol fim

Para que $ r $ permaneça finito para todos os $ theta $, devemos ter leq e lt 1 $. Equação eqref é a equação de uma elipse em coordenadas polares com a origem em um foco. Isso completa a prova da primeira lei de Kepler.

Terceira lei de Kepler

A taxa em que a área é varrida pelo vetor posição é a constante $ h / 2 $ & # 8203 [pela equação eqref] Portanto, begin A = hT / 2 rótulo fim

onde $ T $ é o período do movimento e $ A $ é a área da elipse. Como a tradução não muda a área, podemos considerar a área da elipse begin frac+ frac= 1. Rótulo fim

Vamos calcular a área do primeiro quadrante ($ x geq 0 $, $ y geq 0 $) e multiplicar por quatro. Resolvendo $ y $ como uma função de $ x $ da equação eqref, nós obtemos begin y = b sqrt <1-x ^ 2 / a ^ 2>, quad 0 leq x leq a. fim

Assim, a área $ A $ é dada por begin A = 4b int_0 ^ a sqrt <1-x ^ 2 / a ^ 2> , dx. Label fim

Se fizermos a mudança das variáveis $ x = a sin phi $ ($ dx = a cos phi , d phi $) na integral, obtemos begin A & = 4ab int_0 ^ < pi / 2> cos ^ 2 phi , d phi nonumber & = 4ab int_0 ^ < pi / 2> frac <1+ cos 2 phi> < 2> , d phi nonumber & = pi ab. Label fim

Substituindo este valor por $ A $ na equação eqref, nós obtemos begin T = frac <2 pi ab> fim

Usando equações eqref, eqref, e eqref, podemos escrever a expressão para $ T ^ 2 $ na equação eqref como segue begin T ^ 2 & = frac <4 pi ^ 2k ^ 4> <(1-e ^ 2) ^ 3h ^ 2> nonumber & = frac <4 pi ^ 2ka ^ 3> nonumber & = frac <4 pi ^ 2a ^ 3>. ótulo fim

equação eqref estabelecerá a terceira lei de Kepler se pudermos mostrar que $ a $ é a distância média entre um ponto na elipse e o foco onde o sol está localizado. A distância $ D $ de um ponto $ (x, y) $ na elipse ao foco $ (c, 0) $ é dada por begin D = sqrt <(x-c) ^ 2 + y ^ 2>. ótulo fim

Segue-se da equação eqref que começa y ^ 2 = b ^ 2 left (1- fracdireito). fim

Segue-se da equação eqref que começa 1- frac= frac qquad text qquad c ^ 2 + b ^ 2 = a ^ 2. fim

Usando essas relações, equação eqref torna-se começo D = sqrt < fracx ^ 2-2cx + a ^ 2> = sqrt < frac <(cx-a ^ 2) ^ 2>>. ótulo fim

Como $ x leq a $ e $ c lt a $, segue-se que $ cx lt a ^ 2 $. Assim começar D = frac. ótulo fim

A distância média sobre a metade inferior da elipse é a mesma, portanto, equação eqref representa a distância média sobre a elipse. Equações eqref e eqref combinam para dar a terceira lei de Kepler.

Qual é a validade da primeira lei do movimento planetário de Kepler

Se as órbitas fossem perfeitamente circulares, os fenômenos de periélio e afélio não poderiam ter sido possíveis. O periélio e o afélio ocorrem porque as órbitas são elípticas. Em 1687, Isaac Newton validou todas as três Leis de Kepler e descobriu que elas se aplicariam ao sistema solar em uma extensão como consequência de seu próprio baixo movimento e gravitação universal. As órbitas também se tornaram mais elípticas com o passar dos anos. A excentricidade das órbitas continua aumentando após mais de 10 décadas. Isso explica por que as datas do periélio e do afélio não são fixas, mas continuam mudando.

FAQs sobre Kepler e # 8217s Leis do Movimento Planetário

Q.1. Qual é a primeira lei do movimento planetário?
Resp: A primeira lei do movimento planetário de Kepler & # 8217 afirma que cada planeta gira em torno do sol em uma órbita elíptica, com o sol como um dos focos da elipse.

Q.2. O que é a segunda lei de Kepler e # 8217?
Resp: A segunda lei do movimento planetário de Kepler & # 8217 afirma que a linha imaginária que une qualquer planeta ao sol varre áreas iguais em intervalos iguais de tempo, ou a velocidade de área de um planeta ao redor do sol é constante.

Q.3. Como são chamadas as terceiras leis de Kepler e # 8217?
Resp: A terceira lei de Kepler e # 8217 também é conhecida como a lei dos períodos.

Q.4. Qual é a terceira lei do Kepler e # 8217?
Resp: A terceira lei de Kepler afirma que o quadrado do período de tempo ( left (T right) ) da revolução de um planeta ao redor do sol é diretamente proporcional ao cubo de seu eixo semi-maior ( left ( a. direita) )
( propto )

Q.5. Quantas leis o Kepler usou para definir o movimento planetário?
Resp: O Kepler usa três leis empíricas para definir o movimento planetário. Essas três leis de Kepler & # 8217s são as seguintes:
1. Lei das órbitas
2. Lei das áreas
3. Leis dos períodos

Esperamos que este artigo detalhado sobre as Leis do Movimento Planetário de Kepler & # 8217s ajude você em sua preparação. Se tiver dúvidas, informe-nos na seção de comentários abaixo e entraremos em contato com você o mais rápido possível.

Tutoriais de matemática e mais por George

Neste apêndice, derivaremos as leis de Kepler das leis do movimento de Newton e sua lei da gravitação universal. Abaixo estão as três leis que foram derivadas empiricamente por Kepler.

Primeira Lei de Kepler: Um planeta se move em um plano ao longo de uma órbita elíptica com o sol em um foco.

Segunda Lei de Kepler: O vetor posição do sol para um planeta varre uma área a uma taxa constante.

Terceira Lei de Kepler: O quadrado do período de um planeta ao redor do sol é proporcional ao cubo do comprimento do semi-eixo maior.

Preliminares matemáticos

Em dispositivos móveis com telas pequenas, pode ser necessário rolar horizontalmente para visualizar algumas das equações longas. Como alternativa, você pode alternar para o modo paisagem.

Considere um sistema de coordenadas cartesianas com o sol na origem. Deixe $ (x, y, z) $ denotar a posição de um planeta. Claramente $ x $, $ y $ e $ z $ são funções do tempo $ t $. Nós definimos o vetor de posição $ boldsymbol$, o vetor de velocidade $ boldsymbol$, e o vetor de aceleração $ boldsymbol $ por $ boldsymbol= x boldsymbol+ y boldsymbol+ z boldsymbol, $ $ boldsymbol= ponto boldsymbol+ ponto boldsymbol+ ponto boldsymbol, $ $ boldsymbol = ddot boldsymbol+ ddot boldsymbol+ ddot boldsymbol.$

Aqui, os pontos representam a diferenciação em relação ao tempo e $ boldsymbol$, $ boldsymbol$, $ boldsymbol$ são os vetores unitários nas direções $ x $, $ y $, $ z $ respectivamente. A lei do movimento de Newton pode ser escrita begin boldsymbol= m boldsymbol label fim

onde $ m $ é a massa do planeta e $ boldsymbol$ é a força do planeta. Deixe $ hat < boldsymbol> $ seja um vetor de unidade em $ boldsymboldireção $. Então a lei da gravitação de Newton aplicada à terra e ao sol é dada por begin boldsymbol= - frac, hat < boldsymbol> = - frac, boldsymbol ótulo fim

onde $ G $ é uma constante, $ M $ é a massa do sol e $ r $ é a magnitude de $ boldsymbol$. Combinando equações eqref e eqref, nós começamos boldsymbol = ddot < boldsymbol> = - frac, boldsymbol. ótulo fim

O planeta se move em um avião

Pela regra do produto para diferenciação começar frac
, ( boldsymbol times boldsymbol) = boldsymbol times boldsymbol+ boldsymbol times boldsymbol = 0 end

já que $ boldsymbol $ está na mesma direção que $ boldsymbol$ por equação eqref. Aqui, o símbolo $ times $ representa o produto vetorial vetorial. Assim, o vetor begin boldsymbol= boldsymbol times boldsymbol fim

é uma constante. Segue-se que $ boldsymbol$ e $ boldsymbol$ encontra-se no plano ortogonal a $ boldsymbol$. Vamos escolher o nosso sistema de coordenadas para que $ boldsymbol$ está na direção $ boldsymbol$. Assim, begin boldsymbol= boldsymbol times boldsymbol= h boldsymbol qquad h gt 0. label fim

Segunda Lei de Kepler

A Figura 10 mostra a área varrida pelo vetor posição em um pequeno incremento de tempo. $ Delta theta $ é a pequena mudança de ângulo.

Figura 10: Área varrida durante pequeno incremento de tempo

A área OAB é aproximadamente igual à área do triângulo retângulo OAC para o pequeno $ Delta theta $. Como o comprimento da linha AC é de aproximadamente $ r Delta theta $ e o comprimento da linha OC é de aproximadamente $ r $, temos begin Delta A doteq tfrac <1> <2> , r ^ 2 Delta theta. fim

Deixando o incremento de tempo se aproximar de zero, vemos que begin dot = tfrac <1> <2> , r ^ 2 dot < theta>. ótulo fim

Uma vez que o planeta se move no plano $ xy $, temos begin boldsymbol& = x boldsymbol+ y boldsymbol nonumber & = (r cos theta) boldsymbol+ (r sin theta) boldsymbol ótulo fim

onde as coordenadas polares $ r $ e $ theta $ são funções de $ t $. A derivada de tempo de $ boldsymbol$ é dado por begin boldsymbol= ( ponto cos theta-r sin theta ponto < theta>) boldsymbol+ ( ponto sin theta + r cos theta ponto < theta>) boldsymbol. ótulo fim

Substituindo equações eqref e eqref na equação eqref, nós obtemos begin h & = r cos theta ( ponto sin theta + r cos theta , ponto < theta>) - r sin theta ( ponto cos theta-r sin theta , ponto < theta>) nonumber & = r ^ 2 dot < theta>. ótulo fim

Aqui usamos o fato de que $ boldsymbol times boldsymbol= boldsymbol$ e $ boldsymbol times boldsymbol= - boldsymbol$. Segue-se das equações eqref e eqref que começa dot = tfrac <1> <2> , r ^ 2 dot < theta> = h / 2 = text. ótulo fim

Esta é a segunda lei de Kepler.

Definição e propriedades de uma elipse

Antes de examinarmos a derivação da primeira lei de Kepler, precisamos definir o que entendemos por elipse e examinar algumas de suas propriedades. Uma maneira comum de desenhar uma elipse é prender as duas pontas de um barbante, colocar um lápis no laço e traçar uma curva enquanto mantém o barbante ensinado. Claramente, a curva resultante tem a propriedade de que a soma das distâncias de qualquer ponto da curva aos dois pontos fixos é uma constante (o comprimento da corda). A curva resultante é chamada de elipse e os dois pontos fixos são chamados de focos da elipse. A Figura 11 mostra uma elipse na qual os focos estão em $ (- c, 0) $ e $ (c, 0) $, e $ 2a $ corresponde ao comprimento da string.

Figura 11: Desenho de uma elipse

A construção da elipse pode ser representada matematicamente como segue begin sqrt <(x + c) ^ 2 + y ^ 2> + sqrt <(x-c) ^ 2 + y ^ 2> = 2a rótulo fim

Esta equação pode ser reorganizada da seguinte forma begin sqrt <(x + c) ^ 2 + y ^ 2> = 2a- sqrt <(x-c) ^ 2 + y ^ 2>. fim

Quadrando ambos os lados, nós começamos (x + c) ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2-4a sqrt <(x-c) ^ 2 + y ^ 2> + (x-c) ^ 2 + y ^ 2. fim

Resolvendo o termo raiz quadrada, obtemos begin sqrt <(xc) ^ 2 + y ^ 2> & = frac <1> <4a> , [4a ^ 2 + (xc) ^ 2- (x + c) ^ 2] & = a- frac, x. fim

Quadrado novamente, obtemos começar x ^ 2-2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2-2cx + frac, x ^ 2 end

Dividindo por $ a ^ 2-c ^ 2 $, obtemos begin frac+ frac= 1. ótulo fim

Nós definimos o excentricidade $ e $ da elipse por $ e = c / a $. Também definimos $ b $ por begin b = a sqrt <1-e ^ 2> = sqrt. ótulo fim

Assim, equação eqref pode ser escrito na forma padrão começar frac+ frac= 1. fim

Esta é a forma geralmente especificada para uma elipse. É fácil ver que $ a $ tem metade do comprimento do eixo maior da elipse e $ b $ tem metade do comprimento do eixo menor da elipse.

Uma elipse também tem uma forma simples em coordenadas polares se considerarmos que nossa origem é um dos focos. Essa situação é ilustrada na Figura 12.

Figura 12: Uma elipse em coordenadas polares

Usando a definição de uma elipse em termos da soma das distâncias dos dois focos sendo constantes, podemos escrever begin r + sqrt <(r cos theta + 2c) ^ 2 + r ^ 2 sin ^ 2 theta> = 2a. ótulo fim

Resolvendo o termo da raiz quadrada e expandindo os termos quadrados, obtemos begin sqrt= 2a-r. fim

Quadrar esta equação dá begin r ^ 2 + 4rc cos theta + 4c ^ 2 = 4a ^ 2-4ar + r ^ 2 end

ou equivalentemente começar (a + c cos theta) r = a ^ 2-c ^ 2. fim

Equação eqref é a representação desejada da elipse em coordenadas polares.

Também podemos derivar nossa definição original de elipse da forma polar. Suponha que $ r $ e $ theta $ satisfaça begin r = frac<1 + e cos theta> rótulo fim

onde $ k gt 0 $ e lt e lt 1 $.

Segue-se da equação eqref que $ r $ tem um valor máximo de $ frac<1-e> $ em $ theta = pi $. Assim, usando a equação eqref nós vemos que começa r leq frac<1-e> = a (1 + e) lt 2a. fim

Usando equação eqref, equação eqref pode ser reorganizado da seguinte forma begin (1 + e cos theta) r = k = a (1-e ^ 2). fim

Multiplicando ambos os lados por $ a $, obtemos begin (a + c cos theta) r = a ^ 2-c ^ 2. fim

Multiplicando esta equação por quatro e adicionando $ r ^ 2 = ( sin ^ 2 theta + cos ^ 2 theta) r ^ 2 $ para ambos os lados, obtemos begin ( cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) r ^ 2 + 4ar + 4cr cos theta = 4a ^ 2-4c ^ 2 + r ^ 2. fim

Esta equação pode ser reorganizada assim que begin r ^ 2 cos ^ 2 theta + 4cr cos theta + 4c ^ 2 + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2-4ar + 4a ^ 2 end

ou equivalentemente começar (r cos theta + 2c) ^ 2 + r ^ 2 sin ^ 2 theta = (2a-r) ^ 2. fim

Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos begin r + sqrt <(r cos theta + 2c) ^ 2 + r ^ 2 sin ^ 2 theta> = 2a end

que é a equação que define a elipse ilustrada na Figura 11 [ver equação eqref] Assim, equação eqref define uma elipse com a origem em um foco. Seja $ b = a sqrt <1-e ^ 2> $. Então segue da equação eqref que começa b = frac< sqrt <1-e ^ 2 >>. ótulo fim

Teorema de Hamilton

Nesta seção, mostraremos que o vetor velocidade $ boldsymbol$ move-se em um círculo. Já que $ r = | boldsymbol| $, segue da equação eqref aquela equação eqref pode ser escrito começar dot < boldsymbol> = boldsymbol = - frac, ( cos theta , boldsymbol+ sin theta boldsymbol) ótulo fim

Combinando equações eqref e eqref, nós obtemos begin dot < boldsymbol> = - frac, ponto < theta> , ( cos theta , boldsymbol+ sin theta boldsymbol). ótulo fim

Segue-se das equações eqref e eqref que começa frac<>>= - frac, ( cos theta , boldsymbol+ sin theta boldsymbol) fim

Integrando esta equação, obtemos begin boldsymbol= frac, (- sin theta , boldsymbol+ cos theta boldsymbol) + boldsymbol_0 rótulo fim

onde $ boldsymbol_0 $ é uma constante. Segue-se que $ | boldsymbol- boldsymbol_0 | = GM / h $, ou seja, $ boldsymbol$ move-se no círculo centrado em $ boldsymbol_0 $ com raio $ GM / h $.

Primeira lei de kepler

Nós escolhemos nosso sistema de coordenadas para que $ boldsymbol$ está na direção $ boldsymbol_0 $, ou seja, begin boldsymbol_0 = v_0 boldsymbol qquad text. ótulo fim

Assim, equação eqref torna-se começo boldsymbol= frac, [- sin theta , boldsymbol+ ( cos theta + e) boldsymbol] ótulo fim

onde $ e = v_0h / GM $. Substituindo equação eqref na equação eqref e usando a equação eqref, nós começamos h boldsymbol& = boldsymbol times boldsymbol & = frac, [ sin ^ 2 theta + ( cos ^ 2 theta + e cos theta)] boldsymbol & = frac, (1 + e cos theta) boldsymbol fim

Para que $ r $ permaneça finito para todos os $ theta $, devemos ter leq e lt 1 $. Equação eqref é a equação de uma elipse em coordenadas polares com a origem em um foco. Isso completa a prova da primeira lei de Kepler.

Terceira lei de Kepler

Uma vez que a taxa dessa área é varrida pelo vetor posição é a constante $ h / 2 $ [ver equação eqref], segue-se que begin A = hT / 2 rótulo fim

onde $ T $ é o período do movimento e $ A $ é a área da elipse. Since translation doesn't change the area, we can consider the area of the ellipse egin frac+frac=1.label end

We will calculate the area of the first quadrant ($xgeq 0$, $ygeq 0$) and multiply by four. Solving for $y$ as a function of $x$ from equation eqref, we obtain egin y=bsqrt<1-x^2/a^2>,qquad 0leq x leq a. end

Thus, the area $A$ is given by egin A=4bint_0^a sqrt<1-x^2/a^2>,dx.label end

If we make the change of variables $x=asinphi$ ($dx=acosphi,dphi$) in the integral, we obtain egin A&=4abint_0^ cos^2phi,dphi onumber &=4abint_0^frac<1+cos 2phi><2>,dphi onumber &=pi ab.label end

Substituting this value for $A$ into equation eqref, we obtain egin T=frac<2pi ab> end

Using equations eqref, eqref, and eqref along with the relation $k=h^2/GM$, we can write the expression for $T^2$ in equation eqref as follows egin T^2&=frac<4pi^2k^4><(1-e^2)^3h^2>=frac<4pi^2ka^3> onumber &=frac<4pi^2a^3>.label end

Kepler’s Third Law

Kepler’s first two laws of planetary motion describe the shape of a planet’s orbit and allow us to calculate the speed of its motion at any point in the orbit. Kepler was pleased to have discovered such fundamental rules, but they did not satisfy his quest to fully understand planetary motions. He wanted to know why the orbits of the planets were spaced as they are and to find a mathematical pattern in their movements—a “harmony of the spheres” as he called it. For many years he worked to discover mathematical relationships governing planetary spacing and the time each planet took to go around the Sun.

In 1619, Kepler discovered a basic relationship to relate the planets’ orbits to their relative distances from the Sun. We define a planet’s orbital period, (P), as the time it takes a planet to travel once around the Sun. Also, recall that a planet’s semimajor axis, a, is equal to its average distance from the Sun. The relationship, now known as Kepler’s third law, says that a planet’s orbital period squared is proportional to the semimajor axis of its orbit cubed, or

Quando P (the orbital period) is measured in years, and uma is expressed in a quantity known as an astronomical unit (AU), the two sides of the formula are not only proportional but equal. One AU is the average distance between Earth and the Sun and is approximately equal to 1.5 × 10 8 kilometers. In these units,

Kepler’s third law applies to all objects orbiting the Sun, including Earth, and provides a means for calculating their relative distances from the Sun from the time they take to orbit. Let’s look at a specific example to illustrate how useful Kepler’s third law is.

For instance, suppose you time how long Mars takes to go around the Sun (in Earth years). Kepler’s third law can then be used to calculate Mars’ average distance from the Sun. Mars’ orbital period (1.88 Earth years) squared, or P 2 , is 1.88 2 = 3.53, and according to the equation for Kepler’s third law, this equals the cube of its semimajor axis, or uma 3 . So what number must be cubed to give 3.53? The answer is 1.52 (since 1.52 × 1.52 × 1.52 = 3.53). Thus, Mars’ semimajor axis in astronomical units must be 1.52 AU. In other words, to go around the Sun in a little less than two years, Mars must be about 50% (half again) as far from the Sun as Earth is.

Calculating Periods
Imagine an object is traveling around the Sun. What would be the orbital period of the object if its orbit has a semimajor axis of 50 AU?

Solução
From Kepler’s third law, we know that (when we use units of years and AU)

If the object’s orbit has a semimajor axis of 50 AU (uma = 50), we can cube 50 and then take the square root of the result to get P:

Therefore, the orbital period of the object is about 350 years. This would place our hypothetical object beyond the orbit of Pluto.

Verifique o seu aprendizado
What would be the orbital period of an asteroid (a rocky chunk between Mars and Jupiter) with a semimajor axis of 3 AU?

Kepler’s three laws of planetary motion can be summarized as follows:

Kepler’s first law: Each planet moves around the Sun in an orbit that is an ellipse, with the Sun at one focus of the ellipse.

Kepler’s second law: The straight line joining a planet and the Sun sweeps out equal areas in space in equal intervals of time.

Kepler’s third law: The square of a planet’s orbital period is directly proportional to the cube of the semimajor axis of its orbit.

Kepler’s three laws provide a precise geometric description of planetary motion within the framework of the Copernican system. With these tools, it was possible to calculate planetary positions with greatly improved precision. Still, Kepler’s laws are purely descriptive: they do not help us understand what forces of nature constrain the planets to follow this particular set of rules. That step was left to Isaac Newton.

Applying Kepler’s Third Law
Using the orbital periods and semimajor axes for Venus and Earth that are provided here, calculate P 2 and uma 3 , and verify that they obey Kepler’s third law . Venus’ orbital period is 0.62 year, and its semimajor axis is 0.72 AU. Earth’s orbital period is 1.00 year, and its semimajor axis is 1.00 AU.

We can use the equation for Kepler’s third law, P 2 ∝ uma 3 . For Venus, P 2 = 0.62 × 0.62 = 0.38 and uma 3 = 0.72 × 0.72 × 0.72 = 0.37 (rounding numbers sometimes causes minor discrepancies like this). The square of the orbital period (0.38) approximates the cube of the semimajor axis (0.37). Therefore, Venus obeys Kepler’s third law. For Earth, P 2 = 1.00 × 1.00 = 1.00 and uma 3 = 1.00 × 1.00 × 1.00 = 1.00. The square of the orbital period (1.00) approximates (in this case, equals) the cube of the semimajor axis (1.00). Therefore, Earth obeys Kepler’s third law.

Verifique o seu aprendizado
Using the orbital periods and semimajor axes for Saturn and Jupiter that are provided here, calculate P 2 and uma 3 , and verify that they obey Kepler’s third law. Saturn’s orbital period is 29.46 years, and its semimajor axis is 9.54 AU. Jupiter’s orbital period is 11.86 years, and its semimajor axis is 5.20 AU.

For Saturn, P 2 = 29.46 × 29.46 = 867.9 and uma 3 = 9.54 × 9.54 × 9.54 = 868.3. The square of the orbital period (867.9) approximates the cube of the semimajor axis (868.3). Therefore, Saturn obeys Kepler’s third law.

Kepler’s Equation

Since at least the time of Hipparchus and Eudoxus the ancient world believed that the Sun, moon, planets, and stars moved around the earth in circular orbits. Aristotle’s Physics put the heavenly bodies on perfect crystal spheres. This theory was further formalized in the second century by Ptolemy in his Almagest which served the basic needs of astronomers for the next 1,500 years. Over that time, Aristotelian physics became an article of faith not to be questioned.

But there were unexplained irregularities that never quite fit the theory. The ancients knew that the seasons were of different lengths. For example, Winter is about 89 days in length while Summer is about 94 days. Why did the Sun sometimes speed up and slow down like that? They also noticed that Mars would move East across the night sky for a few years, slow down, and then reverse course and move West for a few months before looping back to its original course. (What we now call apparent retrograde motion .)

Copernicus took a step forward by putting the Sun at the center of the universe but he still retained and tweaked Ptolemy’s epicycles . Tycho Brahe proposed a hybrid model in which the planets orbited the Sun but the Sun and Moon orbited the Earth. Yet he too retained the circular orbits. No dele Epitome of Copernican Astronomy , Johannes Kepler summed up the quandary nicely:

The ancients wished it to be the office of the astronomer to bring forward such causes of this apparent irregularity as would bear witness that the true movement of the planet or spheres is most regular, most equal, and most constant, and also of the most simple figure, that is, exactly circular. And they judged that you should not listen to him who laid down that there was actually any irregularity at all in the real movements of these bodies (Book IV, 571).

So the problem came down to metaphysics. The circle was a symbol of perfection. And the heavens were the perfect creation of God. Who would suggest otherwise and earn the wrath of all Christendom? And yet Kepler ended up doing exactly that, finally proposing the ellipse as the figure the planets describe as they orbit the Sun. Kepler worked out a method ( Kepler’s Equation ) that determines where an orbiting body like the Earth is in its orbit around the Sun. That is the subject I’ll explore here.

The Problem

The version of Kepler’s Equation (KE) I’ll walk through works for any elliptical orbit in the interval [0, 1). That is to say where 0 <= e < 1 with 0 being a circle and 1 being a parabola. In the figure below we have an elliptical orbit of planet P. The eccentricity of the ellipse is greatly exaggerated for the purposes of illustration Earth’s orbital eccentricity e is actually about 0.016 making it closer to a circle.

Of the two foci, the Sun S is shown at one focus and the other is empty. Planet P now at time t is moving counterclockwise and went through apsis A ( perihelion ) at time τ . What we want to know is where is P now at time t? To get there we have to explore three kinds of angles in orbital mechanics: the mean anomaly , the eccentric anomaly , and the true anomaly .

Properties of an Ellipse

Every ellipse has a center, two foci, and a major and minor axis. In the figure of the ellipse below I’ve labeled AB as the major axis and CD the minor axis. I’ve also labeled semi-major axis a and semi-minor axis b.

Earlier I said the eccentricity of the ellipse is going to be in the interval [0, 1). Its eccentricity is related to uma e b by:

Mean Anomaly

Kepler’s second law tells us that “planets sweep out equal areas in equal times.” That is to say P does not move uniformly in its orbit. It speeds up at perihelion when it is closest to the gravitational pull of S and slows down when it is furthest away at aphelion. This irregularity is the main reason the problem is hard to solve.

But what if we set aside the elliptical motion for now and created a fictitious planet P’ moving at a constant speed in a uniform circular orbit? It would be easier to calculate that angle and then use it later to solve the real problem. In this diagram P’ moves in a circle around center C while the real planet P moves in an ellipse around focus S:

This mean (average) movement of P’ between any two points in time always sweeps out an equal area for any duration of time. The angle created is called the mean anomaly. In the figure above mean anomaly angle M is the interior angle of the area CP’A. L et T represent the time it takes for P’ to complete one orbit around S. For example, if P is the Earth then T = 365.256 days. So the radius vector CP’ sweeps counterclockwise from A to 2π (0 to 360 degrees) once in time T. At a given moment t we can determine M by :

We will need M later to solve KE. First, let’s look at a second angle called the eccentric anomaly that Kepler created as a stepping stone to get to the true anomaly.

Eccentric Anomaly

Here’s Kepler’s trick for creating a new angle he called the eccentric anomaly. As with angle M describe a circle whose diameter is equal to the ellipse’s major axis AB as in the figure below. In other words, the center of circle C is also the center of the ellipse. Draw a line segment perpendicular to AB that runs from R on up through P to the circle at point Q. Angle QCA is eccentric anomaly E. Angle PSA is the true anomaly ν. Angle E forms a relationship with angle ν as we shall see next.

True Anomaly

Note in the figure below that a is also the radius of the described circle. Angle ν is the true anomaly but I’ve now added the radius vector to the diagram. The radius vector (hypotenuse r in PSR) is the distance center-to-center measured in astronomical units (AU) between the Sun S and the planet P.

Now we see why Kepler described the circle with a diameter equal to the major axis of the ellipse:

This section goes through the relationship between ν and E. If you’re not up for the trigonometry feel free to skip down to the last function (85). Otherwise following Smart (pp. 112-113) ( PR = r sin u ) and (QR = CQ sin E) = ( a sin E) so:

And (SR = r cos u ) so (SR = CR – CS = a cos E – ae) so:

$2r sin^2 = a (1 + e) (1 – cos E) ag<64>$

$2r cos^2 = a (1 – e) (1 + cos E) ag<65>$

Inverting so we can solve for ν :

Smart (p. 119) applies the formula for the logarithmic series to derive:

$ u = E + (e + 0.25 e^3) sin E + 0.25e^2 sin 2E + 0.0833e^3 sin 3E ag<85>$

Function (85) can easily be translated to programming code and solved if we know e and E. That’s where KE comes in.

Kepler’s Equation

Colwell (p. 3-4) walks through the derivation of KE. Area PSA = area PSR + area PRA. Then:

$= <1 over 2>ab (cos E – e)( sin E) + leftlgroup <1 over 2>a^2 E = <1 over 2>a^2 sin E cos E ight group$

Which I will put in the form:

Where M is the mean anomaly angle, e is the ellipse’s eccentricity, and E is the eccentric anomaly angle. Because of (sin E) this is a transcendental equation. Therefore, we have to use an iteration method (or a series expansion) to solve for E. I am going to show two iteration methods, the first of which would have been familiar to Kepler. Once we have E we can get coordinates P(x,y) from:

Solving Kepler’s Equation

Now I’m going to convert the functions needed above into the C# programming language since I’m fluent in that. As with my previous posts on the subject I’m going to rely heavily on Meeus for the core algorithms as well as bit and pieces of functions from various Wiki articles. To keep it simple I’m just going to calculate the Earth’s orbit however, the public source code available in my GitHub repository is structured such that you could add Mars or any other planet to the solution.

As detailed in a previous post I have a Moment struct that accepts any DateTime value and can return the Julian Day (JD) or the Time T in Julian centuries of 36525 ephemeris days from the J2000.0 epoch.

A second struct is named Earth which accepts a Moment value and calculates the necessary orbital elements for the Earth, its mean anomaly M and eccentricity e in particular. Following Meeus, to find M for a given moment we need the four coefficients for both Earth’s mean longitude L and the perihelion’s mean longitude P which I’ve implemented as a simple Dictionary:

I use the same implementation for eccentricity e:

Now that I have M and e I can solve KE. Meeus provides four methods. I implemented the first two and put some instrumentation around them to get a sense of their performance. The first method is a simple fixed-point iteration, which is what Kepler himself did to solve the equation. Let (E_0 = M) be the default value for E in the first calculation. Then take the output and pass it back into the equation a second time for greater accuracy:

and so on until the desired accuracy is reached. Kepler stopped at (E_2) because that was good enough in his day. But in my implementation of this first method I found it needed 120 iterations (taking 0.0928 ms) to achieve the desired accuracy:

The second method is much faster and produces the desired level of accuracy after only 5 iterations and 0.0059 ms:

Given e and E we can now calculate the true anomaly ν using equation (85) above:

And of course now that we have ν we can get the radius vector r:

Resultado

I ran the program for 9 PM this evening as of this writing (2019-04-07 21:00 UTC):

Now to check this output against JPL’s Horizons system:

Here’s the comparison between the three highlighted values against my output:

Eccentricity e Mean anomaly M (deg) True anomaly v (deg)

My Output 0.01670 92.58 93.55

Horizons 0.01648 90.13 92.02

I’m going to assume that JPL is the gold standard! But because I’m following Meeus (Chap. 31) my value for M accords with the VSOP87 theory while JPL uses ICRF. A quick check with Mathematica shows M = 92.15. In any case, this isn’t bad for “armchair” computing on a personal laptop.

Origens

I am a software developer by trade and not a mathematician. So I was absolutely dependent on all three of these sources for my understanding of KE. Most of the trigonometry above is copied exactly from Smart and I retained his formula numbers for easy reference. If there is no formula number then you can certainly blame me rather than Smart for any errors. My task was largely to organize and make sense of the material for my own benefit and then use that understanding to implement the software solution.

Colwell, Peter. Solving Kepler’s Equation Over Three Centuries. Willmann-Bell. 1993.

Meeus, Jean. Algoritmos Astronômicos. 2nd Ed. Willmann-Bell. 1998.

Smart, W.M. Textbook on Spherical Astronomy. 6th Ed. Cambridge University Press. 1977.

Shout Outs

A thank you to Ketil Wright for pointing out equal sign typos in equations (63) and (66) and a place where it should have read “focus” (singular) instead of “foci” (plural).

How to derive Kepler's 1st Law? - Astronomia

All three of Kepler's laws follow from Newton's laws of motion when the law of universal gravitation is used to express the forces between the Sun and the planets.

Given at any time the positions and velocities of two massive particles moving under their mutual gravitational force, the masses also being known, provide a means of calculating their positions and velocities for any other time, past or future.

The solution of the two-body problem is an equation of motion. Its derivation is outside the scope of this course, as it requires the use of vector calculus in conjunction with Newton's second law and his law of gravitation. The solution for two masses m₁ e m₂ can be written in polar coordinates r, (see Figure 31) as follows:

Onde h is a constant which is twice the rate of description of area by the radius vector and e is the eccentricity of the orbit. This equation looks similar to the polar equation of an ellipse that we derived earlier. In fact, it is the polar equation of a conic section.

The ellipse is just one example of a class of curves called conic sections, which are formed when a cone is cut with a plane, as shown in Figure 35. When the plane is perpendicular to the cone's axis, the result is a circle (ellipticity, e = 0) when it is parallel to one side, the result is a parabola (e = 1) intermediate angles result in ellipses (0 1).

In obtaining his solution to the two-body problem, Newton generalized Kepler's first law. He deduced that when one body moves under the gravitational influence of another, the orbit of the moving body must be a conic section. Planets, satellites and asteroids have elliptical orbits. Many comets have eccentricities so close to unity that they follow essentially parabolic orbits. A few comets have hyperbolic orbits - after one perihelion passage, such comets leave the solar system forever. Space probes have been launched into hyperbolic orbits with respect to the Earth, but they are nearly always captured into elliptical orbits about the Sun. Pioneer 10 was the first spacecraft that, when perturbed by Jupiter, escaped from the solar system.

Newton visualized the motion of an object acted on by a gravitational force as a succession of small kicks or impulses which in the limit become a continuously applied influence. Newton imagined an object travelling along part of an orbit AB which then receives an impulse directed towards the point S. As a result, it then travels along the line AC instead of Bc. Similar impulses carry it to D, E e F. Newton visalized the displacement AC as being, in effect, the combination of the displacement Bc, equal to AB, that the object would have undergone if it had continued for an equal length of time with its original velocity, together with the displacement cC parallel to the line BS along which the impulse was applied. This at once yields Kepler's second law by a simple argument: The triangles SAB e SBc are equal, having equal bases (AB e Bc) and the same altitude. The triangles SBc e SBC are equal, having a common base (SB) and lying between the same parallels. Hence triangle SAB = triangle SBC.

A modern Newtonian derivation of Kepler's second law requires the concept of an orbiting body's angular momentum

eu = r X p = m (r X v)

Onde m is the body's mass, r is its position vector and p its linear momentum (= mv, Onde v is its velocity). Note that for the first time in this course we distinguish between vector quantities and scalar quantities by writing vector quantities in a bold face. The vector cross product (denoted by X) is an operation that yields the product of the perpendicular components of two vectors hence if r e p are parallel, then r X p = 0. Angular momentum is a vector quantity eu with the units kgm 2 s -1 . Differentiating eu, we have

deu/dt = d(r X p)/dt = v X p + r X (dp/dt) = r X F

Desde a v is parallel to p e dp/dt is the definition of force according to Newton's second law. We call deu/dt a torque (with units kgm 2 s -2 ) and see that when F e r are co-linear, due to a central force such as gravitation, the torque vanishes. Hence eu is constant in time and so angular momentum is conserved for all central forces. The conservation of angular momentum is a very powerful tool in celestial mechanics and can be used to derive Kepler's second law as follows.

A body is moving in an elliptical orbit with a velocity v at a distance r from the focus F (Figure 37). During a short time interval t, the body moves from P para Q and the radius vector sweeps through the angle . This small angle is approximately given by = v_t t / r, Onde v_t is the component of v perpendicular to r. During this time, the radius vector has swept out the triangle FPQ, the area of which is approximately given by UMA = rv_t t / 2. Therefore, in the limit given by t approaching zero, we have

Now, the angular momentum of the body in Figure 37 is given by the vector perpendicular to the plane defined by r e v, i.e. it is out of the plane of the paper. The scalar magnitude of eu is given by

This means that the rate of sweeping out area is given by

Como eu e m are constants, then dA/dt must be a constant, i.e. the rate of sweeping out area is a constant. Hence we have verified Kepler's second law.

Because the gravitational force acts only along the line joining the centres of the bodies, both bodies must complete one orbit in the same period P (though they move at different speeds v₁ e v₂) The forces on each body due to their centripetal accelerations are therefore

Newton's third law tells us that F₁ = F₂, and so we obtain

This tells us that the more massive body orbits closer to the centre of mass than the less massive body. The total separation of the two bodies is given by

Combining this equation with the equation for F₁ derived above and Newton's law of gravitation (F_grav = F₁ = F₂ = Gm₁m₂ / uma 2 ) gives Newton's form of Kepler's third law:

Content: Kepler’s Laws

Kepler’s laws are nothing but the laws that correspond to the motion of planets in the solar system. Johannes Kepler, a German astronomer, proposed three basic laws that describe the planetary motion around the sun in space. Kepler derived the three laws for describing the planetary motion after careful observations and these were not mere assumptions. However, after that Isaac Newton developed the theory of gravitation.

The laws proposed by Kepler, in general, are applied to two bodies present in space interacting due to gravitation. So, in satellite communication, Kepler’s law for motion of any two bodies is considered and the motion of a satellite around the earth in space is governed, where the heavy body is called primary while the lighter one is referred to as secondary. Thus, for the satellite orbiting earth, the primary will be the earth whereas the satellite will be secondary.

The three laws of Kepler provide idea about:

The path of the secondary while orbiting primary,

The area covered in space, and

The orbital period of the secondary.

Here in this article, we will separately discuss each law but before understanding the three laws of Kepler’s for the motion of a satellite in space let us understand-

What is a Satellite?

A man-made device that rotates around the earth or any other moving object existing in space is known as a satellite. However, there exist natural satellites also like the earth which revolves around the sun, and the moon which revolves around the earth.

There are two major parts of artificial satellites which are an antenna and a source of power. The antenna is used for transmitting and receiving the signals while the power source is used to supply energy to the device for continuous operation.

Now, you must be thinking, why a device named satellite is required in space?

So, basically, various signals that require transmission from one end of the earth’s surface to the other end fail to do so as they are unable to follow the earth’s curvature or sometimes obstructed by any building, mountains or trees, etc. Thus, due to the straight-line path possessed by signals, they reach space and are captured by the satellites present there and these signals are then retransmitted to different spots on the earth surface according to the requirement. Hence in this way, the satellites orbiting earth are used.

Kepler’s First Law

According to Kepler’s first law, while orbiting the earth, the path of the satellite is elliptical in nature. An ellipse has two focal points and the earth is situated in one of two foci. This is clearly shown below:

However, you must note here that in the case of an ellipse, for a two-body system, the center of mass i.e., barycentre is situated at one of the two focal points. And as here huge difference in mass of earth and satellite exists thus the center of mass and center of the earth will be at the same point i.e., always at one focus of the ellipse.

For satellites orbiting in space, a and e are the two crucial parameters, where a is the denotation used for the semi-major axis and b is used for the semi-minor axis. And e is the eccentricity which is given as:

For an ellipse, e lies between 0 to 1 however the orbit becomes circular rather than elliptical when the value of e is 0.

Kepler’s Second Law

According to the second law, the satellite in the orbital plane will sweep an equal journey in an equal time interval. More simply, when the time interval is equal then the satellites in the orbital plane will cover the equal distance.

Consider the figure given below where the earth is present at the barycentre and the satellite covers distance d₁ in 1 sec, sweeping out area A₁ and distance d₂ sweeping out area A₂ in 1 sec.

The distance covered is assumed to be in meters.

So, by Kepler’s second law, UMA₁ = A₂

Here, the average velocity of the satellite to cover distance d₁ e d₂ is S₁ m/s and S₂ m/s and as areas, A₁ e A₂ are equal thus S₂ will be less than S₁.

This can be said in a way that the speed of the satellite during orbital motion is not constant thus, the satellite sweep out the same amount of areas in equal time duration. You must note here that the point where the satellite is nearest to the earth is known as perigeu and the point where the satellite is farthest to the earth is the apogeu. This implies that the satellite moves fast at perigee and slow at the apogee.

Kepler’s Third Law

According to the third law, the square of the periodic time of orbit shows direct proportionality with the cube of the semi-major axis, ‘a’ of their orbit. Thus, it can be written as:

The third law proposed by Kepler shows that the periodic time of orbiting by the satellite shows a rapid increase with the increase in the radius of the orbit in which the satellite is moving.

Notice that (because of Kepler's 2nd Law) the velocity vector is constantly changing both its magnitude and its direction as it moves around the elliptical orbit (if the orbit were circular, the magnitude of the velocity would remain constant but the direction would change continuously). Since either a change in the magnitude or the direction of the velocity vector constitutes an acceleration, there is a continuous acceleration as the planet moves about its orbit (whether circular or elliptical), and therefore by Newton's 2nd Law there is a force that acts at every point on the orbit. Furthermore, the force is not constant in magnitude, since the change in velocity (acceleration) is larger when the planet is near the Sun on the elliptical orbit.

Since the planets move on ellipses (Kepler's 1st Law), they are continually accelerating, as we have noted above. As we have also noted above, this implies a force acting continuously on the planets.

Assista o vídeo: Keplers Third Law of Motion Astronomy (Agosto 2022).