Astronomia

Como calcular o ângulo formado entre 2 planetas?

Como calcular o ângulo formado entre 2 planetas?


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Estou interessado em calcular os ângulos formados entre planetas como Saturno oposto a Netuno - 180 graus, PlanetX oposto / trígono / quadrado ao PlanetY. Como encontrar esses graus?

Eu uso o software Stellarium para encontrar as posições dos planetas. Aqui estou adicionando as posições de Saturno, Júpiter e Sol.

O Stellarium mostra informações sobre os objetos selecionados, pode ser usado para calcular o ângulo formado, por exemplo, o ângulo formado entre Saturno e Júpiter tendo o Sol como ponto de referência?


Os planetas estão se movendo ao longo de caminhos elípticos, e nós os vemos de outro planeta que também está se movendo ao longo de um caminho elíptico, isso faz com que o movimento que os planetas fazem no céu (em relação a estrelas distantes) pareçam girar e se mover de forma inconsistente avaliar. Os planetas não orbitam todos no mesmo plano e, portanto, podem estar acima ou abaixo da eclíptica (o caminho aparente no céu do sol)

Portanto, não há nenhum atalho para encontrar o ângulo entre dois planetas: você tem que calcular a posição dos planetas no céu e então encontrar o ângulo entre essas posições.

A primeira etapa é chamada de cálculo de efemérides. Os detalhes estão além do escopo desta resposta, mas a NASA tem uma boa calculadora de efemérides em https://ssd.jpl.nasa.gov/horizons.cgi. Alternativamente, softwares como o Stellarium serão capazes de calcular a posição de um planeta em qualquer data no futuro próximo ou no passado.

Quando você tem a posição dos planetas como RA e Dec, e você converte as unidades em graus decimais, você pode calcular o ângulo $ A $ entre eles usando

$$ cos (A) = sin ( mathrm {Dez_1}) sin ( mathrm {Dez_2}) + cos ( mathrm {Dez_1}) cos ( mathrm {Dez_2}) cos ( mathrm {RA_1} - mathrm {RA_2}) $$

Mais detalhes e uma calculadora podem ser encontrados em http://www.gyes.eu/calculator/calculator_page1.htm


Acorde, Tangente e o Círculo

Observação: Como os ângulos inscritos, quando o vértice está no próprio círculo, o ângulo formado é a metade da medida do arco interceptado.

Applets interativos

Prática Problemas

Problema 1

O acorde $ AC $ intercepta uma tangente tangente no ponto C. Se a medida de $ overparen = 70 ^ < circ> $, o que é x?

Use o teorema acima para encontrar a medida do ângulo formado pela interseção da tangente que cruza a corda AC.

Pelo teorema, a medida do ângulo é a metade do arco interceptado que é $ 70 ^ < circ> $.

Portanto, $ x = frac <1> <2> cdot 70 = 35 ^ < circ> $.

Problema 2

O acorde $ AC $ intercepta uma tangente tangente no ponto C. Se a medida de $ overparen = 110 ^ < circ> $, o que é x?

Qual é o $ m overparen $(a medida do arco ABC) ?

Responder

Lembre-se do teorema: o ângulo formado pela tangente e a corda é a metade da medida do arco interceptado.

Portanto, o arco é o dobro do ângulo. $ m overparen = 2 cdot 110 ^ < circ> = 55 ^ < circ> $

Desafio Problemas

Problema 3

Para o $ m overparen $? para igualar & frac34 à medida total da circunferência do círculo, qual deve ser o valor de X?

Responder

Por nosso teorema, sabemos que o ângulo formado por uma tangente e uma corda deve ser igual à metade do arco interceptado, então $ x = frac 1 2 cdot 270 ^ < circ> = 135 ^ < circ> $.

Problema 4

Observe o Círculo 1 e o Círculo 2 abaixo. Em apenas um dos dois círculos, uma tangente se cruza com uma corda. Qual círculo é?

Responder

O círculo 1 é o único círculo cujo arco interceptado é a metade da medida do ângulo entre a corda e a linha de intersecção.

Problema 5

Qual é a medida de $ angle ACZ $ para círculo com centro em O?

Responder

A chave para este problema é reconhecer que $ overline$ é um diâmetro.

Portanto, $ m overparen = 180 ^ < circ> $.

Neste ponto, você pode usar a fórmula $ m angle ACZ = frac <1> <2> cdot 180 ^ < circ> m angle ACZ = 90 ^ < circ> $

Problema 6

$ overparen : overparen $ é 3: 2, qual é $ m angle MJK $?

Responder

A chave para este problema é reconhecer que o total de graus em um círculo é $ 360 ^ < circ> $.

A partir daí, você pode configurar uma equação usando a proporção 3: 2.

$ 3x + 2x = 360 5x = 360 frac <5x> <5> = frac <360> <5> x = 72 overparen = 2x = 2 cdot 72 overparen = 144 ^ < circ> $

Neste ponto, você pode usar a fórmula $ m angle MJK = frac <1> <2> cdot 144 ^ < circ> m angle MJK = 72 ^ < circ> $


Astronomia posicional: Trigonometria esférica

Um arco de grande círculo, na esfera, é o análogo de uma linha reta, no plano.

Onde dois desses arcos se cruzam, podemos definir o ângulo esférico
seja como ângulo entre as tangentes aos dois arcos, no ponto de intersecção,
ou como o ângulo entre os planos dos dois grandes círculos onde eles se cruzam no centro da esfera.
(O ângulo esférico é definido apenas onde os arcos de grandes círculos se encontram.)

Um triângulo esférico é feito de três arcos de grandes círculos, todos menores que 180 graus.
A soma dos ângulos não é fixa, mas sempre será maior que 180 & deg.
Se qualquer lado do triângulo é exatamente 90 graus, o triângulo é chamado de quadrantal.

Existem muitas fórmulas relacionando os lados e ângulos de um triângulo esférico.
Neste curso, usamos apenas duas: a regra do seno e a regra do cosseno.

Considere um triângulo ABC na superfície de uma esfera com raio = 1.

Usamos as letras maiúsculas A, B, C para denotar os ângulos nesses cantos
usamos as letras minúsculas a, b, c para denotar os lados opostos.
(Lembre-se de que, na geometria esférica, o lado de um triângulo é o arco de um grande círculo,
então também é um ângulo.)

Gire a esfera de modo que A esteja no & quot pólo norte & quot,
e deixe o arco AB definir o & quotprime meridiano & quot.

Configure um sistema de eixos retangulares OXYZ:
O está no centro da esfera
OZ passa por A
OX passa pelo arco AB (ou a extensão dele)
OY é perpendicular a ambos.
Encontre as coordenadas de C neste sistema:
x = sin (b) cos (A)
y = sin (b) sin (A)
z = cos (b)


Agora crie um novo conjunto de eixos,
mantendo o eixo y fixo e movendo o & quotpolo & quot de A para B
(ou seja, girar o plano x, y através do ângulo c).
As novas coordenadas de C são
x '= sin (a) cos (180-B) = - sin (a) cos (B)
y '= sin (a) sin (180-B) = sin (a) sin (B)
z '= cos (a)

A relação entre o antigo e o novo sistema
é simplesmente uma rotação dos eixos x, z através do ângulo c:
x '= x cos (c) - z sen (c)
y '= y
z '= x sin (c) + z cos (c)

Isso é:
- sen (a) cos (B) = sin (b) cos (A) cos (c) - cos (b) sin (c)
sin (a) sin (B) = sin (b) sin (A)
cos (a) = sin (b) cos (A) sin (c) + cos (b) cos (c)

Essas três equações nos fornecem as fórmulas para resolver triângulos esféricos.

A primeira equação é a regra do cosseno transposto,
que às vezes é útil, mas não precisa ser memorizado.

A segunda equação fornece a regra do seno. Reorganizar como:
sin (a) / sin (A) = sin (b) / sin (B)
De forma similar,
sin (b) / sin (B) = sin (c) / sin (C), etc.

Portanto, a regra seno é geralmente expressa como:
sin (a) / sin (A) = sin (b) / sin (B) = sin (c) / sin (C)

A terceira equação fornece a regra do cosseno:
cos (a) = cos (b) cos (c) + sin (b) sin (c) cos (A)
e da mesma forma:
cos (b) = cos (c) cos (a) + sin (c) sin (a) cos (B)
cos (c) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b) cos (C)

regra seno:
sin (a) / sin (A) = sin (b) / sin (B) = sin (c) / sin (C)

regra do cosseno:
cos (a) = cos (b) cos (c) + sin (b) sin (c) cos (A)
cos (b) = cos (c) cos (a) + sin (c) sin (a) cos (B)
cos (c) = cos (a) cos (b) + sin (a) sin (b) cos (C)

A regra do cosseno resolverá quase qualquer triângulo se for aplicada com freqüência suficiente.
A regra do seno é mais simples de lembrar, mas nem sempre aplicável.

Observe que ambas as fórmulas podem sofrer de ambiguidade:
Por exemplo. se a regra do seno produzir
sin (x) = 0,5,
então x pode ser 30 & deg ou 150 & deg.
Ou, se a regra do cosseno produzir
cos (x) = 0,5,
então x pode ser 60 & deg ou 300 & deg (-60 & deg).
Neste caso, não há ambigüidade se x for um lado do triângulo, pois deve ser menor que 180 & deg,
mas ainda pode haver incerteza se um ângulo do triângulo é positivo ou negativo.

Portanto, ao aplicar qualquer uma das fórmulas, verifique se a resposta é sensata.
Em caso de dúvida, recalcule usando a outra fórmula, como uma verificação.

Alderney, nas Ilhas do Canal, tem longitude 2 e degW, latitude 50 e degN.
Winnipeg, no Canadá, tem longitude 97 e degW, latitude 50 e degN.
A que distância eles estão, em milhas náuticas, ao longo de um arco de grande círculo?

Se você partiu de Alderney em uma rota de grande círculo para Winnipeg,
em que direção (em direção a qual azimute) você iria?


Contracapa

O extraordinário poder e versatilidade da Matemática Védica conduzem a métodos novos e extremamente eficientes em Astronomia.

Neste livro independente, alguns aplicativos são fornecidos, incluindo Predição de Eclipses, a solução dígito por dígito da Equação de Kepler, a Predição de Posições Planetárias e a Solução de Triângulos Esféricos.

Normalmente, a solução para tais problemas não seria tentada sem o auxílio de um dispositivo de cálculo mecânico. Mas os métodos ultra-eficientes da Matemática Védica levam a soluções fáceis e rápidas sem a necessidade de tais ajudas.

Muitas das idéias apresentadas neste livro podem ser desenvolvidas posteriormente e também sugerir outras linhas de pesquisa.


Base: Considerando P1 como a origem e medindo o ângulo de P2 em relação à origem, então P1 -------- P2 resultará corretamente em 0.

No entanto, atan2 permite o aumento do ângulo na direção CCW. Girando no sentido anti-horário em torno da origem, y passa pelos seguintes valores:

Isso significa que podemos simplesmente inverter o sinal de y para mudar a direção. Mas, como as coordenadas do C # aumentam de cima para baixo, o sinal já está invertido ao calcular yDiff.


Como calcular a direção média?

Esta pergunta surgiu em uma sessão de observação na outra noite: Como você calcula uma direção média? O exemplo dado foi D1 = 350 °, D2 = 10 °. A média calculada, (350 + 10) / 2 = 180 °, que é obviamente incorreta.

Então, como você chega a uma resposta correta? (360 ° ou 0 ° serviriam neste caso.)

# 2 Qkslvr

Você converte os graus em frações de Pi, se bem me lembro. Onde 2Pi = 360 (para um círculo unitário)

Oh, eu acho que você precisa usar -350, porque 180 está a meio caminho entre 10 e +350.

# 3 Joel F.

Embora eu não esteja completamente certo do que você está perguntando, ambas as suas respostas parecem razoáveis.

(1)360
10 também é uma vez em torno de plust 10 ou 360 +10 = 370
350 + 370 =720
(720/2) = 360

(2)0
350 também pode ser considerado como -10
-10 + 10 =0
(0/2)=0

O problema com 180 é que ele está completamente do outro lado do círculo e, portanto, provavelmente não é o que você está procurando.

# 4 jupiterzkool

Esta pergunta surgiu em uma sessão de observação na outra noite: Como você calcula uma direção média? O exemplo dado foi D1 = 350 °, D2 = 10 °. A média calculada, (350 + 10) / 2 = 180 °, que é obviamente incorreta.

Então, como você chega a uma resposta correta? (360 ° ou 0 ° serviriam neste caso.)

Estritamente falando, não se pode calcular a média da direção calculando a média dos dois ângulos escalares. É necessário determinar o vetor que divide ao meio o paralelogramo formado pelos dois vetores. Quando fizermos isso, veremos claramente que o vetor bissetriz está em 360/0 graus.

# 5 groz

A média funciona muito bem se você usar o quadro de referência correto. Use -180 a +180 para graus em vez de 0 a 360. Seu exemplo se torna -10 + 10 = 0/2 = 0.

# 6 imjeffp

A média funciona muito bem se você usar o quadro de referência correto. Use -180 a +180 para graus em vez de 0 a 360. Seu exemplo se torna -10 + 10 = 0/2 = 0.

# 7 Qkslvr

A média funciona muito bem se você usar o quadro de referência correto. Use -180 a +180 para graus em vez de 0 a 360. Seu exemplo se torna -10 + 10 = 0/2 = 0.


Ei Jeff, você deve verificar o seu trabalho

# 8 imjeffp

O "não consigo resolver" permanece, está apenas do outro lado da bússola.

# 9 Qkslvr

O "não consigo resolver" permanece, está apenas do outro lado da bússola.

. Seu exemplo se torna -10 + 10 = 0/2 = 0.

# 10 imjeffp

# 11 rickertk

Supondo que você esteja falando sobre uma solução planar simples, um método para obter o vetor "médio" seria transformar em coordenadas cartesianas, somar essas e então tentar transformar o vetor resultante de volta em coordenadas polares. Supondo que você deseja tratar todos os seus vetores (direções) como tendo o mesmo peso, apenas pegue o seno e o cosseno de cada direção e some todos eles. Isso lhe dará as coordenadas Y e X de seu vetor final. Se você deseja obter uma direção final, pode tentar a seguinte abordagem: Você precisará redimensionar seus eixos Y e X para que correspondam a um vetor final de comprimento 1. Quadrado cada um deles, para obter um novo número Z Divida suas coordenadas Y e X por sqrt (Z). Em seguida, pegue o seno inverso de Y e o cosseno inverso de X. Mas você ainda não terminou. O seno inverso e o cosseno inverso têm algumas respostas possíveis diferentes. Supondo que você obtenha um ângulo A de seu seno inverso, o ângulo correto C será A ou 180-A. Para o seu cosseno, o ângulo correto será C ou -C. Em apenas um caso os dois serão iguais. Pode ser mais fácil trabalhar com tangente inversa. Você apenas divide Y / X, então pega a tangente inversa desse número. Se Y e X forem negativos no início, adicione 180 ao número. Se Y for positivo e X for negativo, some 180. Isso é mais fácil do que parece se você realmente se lembrar de trigonometria.

Observe que mesmo esse método é certamente capaz de fornecer respostas mal definidas. Se suas duas direções estiverem separadas por 180 graus, a direção média não está bem definida. Casos próximos a esse tornam-se matematicamente mal comportados.


Teoria. Ângulo entre dois planos

O ângulo entre dois planos é igual a um ângulo entre seus vetores normais.

Se um1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 e A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 são equações planas, então o ângulo entre os planos pode ser encontrado usando a seguinte fórmula

cos α = | A1·UMA2 + B1· B2 + C1· C2|
√ A1 2 + B1 2 + C1 2 √ A2 2 + B2 2 + C2 2

Você pode inserir apenas números inteiros, decimais ou frações nesta calculadora online (-2,4, 5/7,.). Informações mais detalhadas lidas nessas regras.


Órbita

Todos nós vimos os cartazes na escola nos dizendo a ordem dos oito planetas e eles estão todos ordenadamente colocados em uma linha reta que seriamente não pode ser como os planetas orbitam o sol em uma linha reta, alguns devem estar inclinados. Então eu fui e tentei fazer algumas pesquisas e a maioria das fontes colocam todos os planetas em uma linha próxima, não variando de uma rotação reta ao redor do sol? # 8230 Essa imagem está correta se todos os planetas tendem a girar ao redor do sol em um mesmo plano, se for assim, então nosso sistema solar deve ser extremamente plano, com grandes espaços muito próximos acima e abaixo das rotações planetárias que nunca são ocupadas.

Na verdade, os planetas em nosso sistema solar orbitam o sol em um plano relativamente plano. A maior inclinação mútua entre os planos orbitais de dois planetas em nosso sistema solar é de 7 graus (de um círculo de 360 ​​graus). Existe até um nome especial para o plano em que os planetas do sistema solar orbitam: o plano da eclíptica.

Achamos que a razão pela qual os planetas estão em um plano tão plano está ligada à forma como os planetas se formam. Achamos que nosso sol e seus planetas se formaram a partir de uma nuvem de gás que entrou em colapso. O centro da nuvem esquentou o suficiente para fundir hidrogênio em hélio - esta parte se tornou nosso sol. Mas e as camadas externas mais frias da nuvem? Se a nuvem tivesse mesmo um pequeno giro enquanto estava se formando, esse giro teria sido acelerado durante o colapso da nuvem & # 8217s, como uma patinadora no gelo que começa a girar devagar e depois traz os braços para girar mais rápido. Conforme a nuvem de gás entrou em colapso e começou a girar mais rápido, muitas das camadas externas se achataram em um disco, da mesma forma que alguém fazendo uma crosta de pizza gira a massa para achatá-la em uma torta. Depois que a nuvem de gás ao redor do Sol se achatou em um disco, os planetas se formaram a partir desse disco. É por isso que os planetas em nosso sistema solar têm órbitas tão planas! Aqui está um desenho do efeito e aqui está um pequeno vídeo de simulação.


Formato

Calculando a distância entre dois pontos geográficos

Cálculo da direção entre dois pontos geográficos

Cálculo do ponto de destino

Determinar a velocidade ou o tempo decorrido

Comente

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Coordenadas

Pesquise no mapa

Clique em pesquisar para abrir a página do Earth Coordinate, aqui você obtém a latitude e a longitude simplesmente clicando no mapa, e salve o valor com o botão salvar.

Calculando a distância entre dois pontos geográficos

A fórmula utilizada para determinar a menor distância entre dois pontos no terreno (geodésico), aproxima o geóide a uma esfera de raio R = 6372,795477598 km (raio quádrico médio), portanto o cálculo poderia ter um erro de distância de 0,3%, principalmente em os extremos polares, e para longas distâncias através de vários paralelos. Dados dois pontos A e B na esfera expressos por latitude (lat) e longitude (lon), você terá:

distância (A, B) = R * arccos (sin (latA) * sin (latB) + cos (latA) * cos (latB) * cos (lonA-lonB))

Os ângulos usados ​​são expressos em radianos, a conversão entre graus e radianos é obtida multiplicando o ângulo por pi e dividindo por 180.

Cálculo da direção entre dois pontos geográficos

Para determinar a direção do ponto inicial entre dois pontos na Terra, use a seguinte fórmula:

Nota: 1) ln = log natural 2) se & Deltalon & gt 180 & deg, então & Deltalon = & Deltalon (mod 180).
3) operação a mod n 4) função atan2 (y, x) 5) os ângulos estão em radianos

Cálculo do ponto de destino

Para determinar o ponto de destino, conhecendo o ponto de partida a direção & theta e a distância d, usamos a seguinte fórmula:

latB = asin (sin (latUMA) * cos (d / R) + cos (latUMA ) * sin (d / R) * cos (& theta))
lonB = lonUMA + atan2 (sin (& theta) * sin (d / R) * cos (latUMA ), cos (d / R) e menos sen (latUMA ) * sin (latB ))

Nota: 1) função atan2 (y, x) 2) os ângulos estão em radianos

Determinar a velocidade ou o tempo decorrido

Depois de calcular a distância entre dois pontos, você obtém a velocidade se soubermos o tempo gasto para viajar do ponto A ao B.
Insira o tempo decorrido no formato hh: mm: ss para obter a velocidade média.
Se você souber o ponto final e a velocidade média, poderá obter o tempo para chegar ao ponto B.
Você pode inserir o tempo no ponto A e no ponto B para obter a velocidade média.

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Agradecemos antecipadamente por sua contribuição para melhorar este site (corrija os erros de gramática e tradução).


Leitura Adicional

A fonte de dados mais abrangente e atualizada sobre estrelas duplas é o Washington Double Star Catalog (WDS), disponível como quatro arquivos de texto muito grandes no site do USNO ou como uma planilha Excel de 40 e # 160 megabytes (.xlsx) editada por Eu.

Observando e medindo as estrelas duplas visuais (2ª edição) (2012) por Bob Argyle - "O livro definitivo para aqueles que levam a sério este aspecto fascinante da astronomia". realmente!

Double Stars (1978) de Wulff Heintz & # 150 Um clássico na área, compacto e informativo, embora denso e em muitos lugares técnico.

Observing Visual Double Stars (1981) de Paul Couteau & # 150 Reader mais amigável do que Heintz, mais focado em métodos de observação e com muitos tópicos de interesse para o observador de estrela dupla.

Sobre a resolução telescópica de binários desiguais (1946) por P.J. Treanor - Uma tentativa inicial de derivar um limite de detecção de estrela dupla "preditivo".

Limites para divisão de estrelas duplas por K.A. Fisher - Avaliação de vários métodos para prever a resolução de estrelas duplas próximas de magnitude desigual.

Um modelo matemático para prever a resolução de estrelas duplas por Amateurs and their Telescopes (2008) por Tim Napier-Munn - Uma tentativa recente de sintetizar modelos de previsão para estrelas duplas próximas de magnitude desigual.


Assista o vídeo: Miary kątów w trójkątach - Matematyka Szkoła Podstawowa i Gimnazjum (Novembro 2022).